MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem2 23846
Description: Lemma for aaliou3 23854. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐   𝐴,𝑎,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝐺,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables 𝑏 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluznn 11592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2 fveq2 6087 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐵 → (!‘𝑎) = (!‘𝐵))
32negeqd 10126 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐵 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝐵))
43oveq2d 6542 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐵 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝐵)))
5 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
6 ovex 6554 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝐵)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6175 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = (2↑-(!‘𝐵)))
81, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) = (2↑-(!‘𝐵)))
9 2rp 11671 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
101nnnn0d 11200 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 faccl 12889 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
1312nnzd 11315 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
1413znegcld 11318 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐵) ∈ ℤ)
15 rpexpcl 12698 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐵) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐵)) ∈ ℝ+)
169, 14, 15sylancr 693 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐵)) ∈ ℝ+)
178, 16eqeltrd 2687 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ+)
1817rpred 11706 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
1917rpgt0d 11709 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝐵))
20 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐴))
21 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝐴))
2220, 21breq12d 4590 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴)))
2322imbi2d 328 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))))
24 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
25 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑑))
2624, 25breq12d 4590 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑)))
2726imbi2d 328 . . . 4 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑))))
28 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑑 + 1) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑑 + 1)))
29 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑑 + 1) → (𝐺𝑏) = (𝐺‘(𝑑 + 1)))
3028, 29breq12d 4590 . . . . 5 (𝑏 = (𝑑 + 1) → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1))))
3130imbi2d 328 . . . 4 (𝑏 = (𝑑 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
32 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
33 fveq2 6087 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝐵))
3432, 33breq12d 4590 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
3534imbi2d 328 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
36 nnnn0 11148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
37 faccl 12889 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
3938nnzd 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
4039znegcld 11318 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
41 rpexpcl 12698 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
429, 40, 41sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
4342rpred 11706 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ)
4443leidd 10445 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ≤ (2↑-(!‘𝐴)))
45 nncn 10877 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
4645subidd 10231 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐴) = 0)
4746oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)) = ((1 / 2)↑0))
48 halfcn 11096 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
49 exp0 12683 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑0) = 1
5147, 50syl6eq 2659 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)) = 1)
5251oveq2d 6542 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 1))
5342rpcnd 11708 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
5453mulid1d 9913 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 1) = (2↑-(!‘𝐴)))
5552, 54eqtrd 2643 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) = (2↑-(!‘𝐴)))
5644, 55breqtrrd 4605 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
57 fveq2 6087 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (!‘𝑎) = (!‘𝐴))
5857negeqd 10126 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝐴))
5958oveq2d 6542 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝐴)))
60 ovex 6554 . . . . . . 7 (2↑-(!‘𝐴)) ∈ V
6159, 5, 60fvmpt 6175 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = (2↑-(!‘𝐴)))
62 nnz 11234 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
63 uzid 11536 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
64 oveq1 6533 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐴 → (𝑐𝐴) = (𝐴𝐴))
6564oveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐴 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)))
6665oveq2d 6542 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐴 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
67 aaliou3lem.a . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
68 ovex 6554 . . . . . . . 8 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) ∈ V
6966, 67, 68fvmpt 6175 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝐴) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
7062, 63, 693syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐺𝐴) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
7156, 61, 703brtr4d 4609 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
7271a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴)))
73 eluznn 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
7473nnnn0d 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
75 faccl 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ℕ0 → (!‘𝑑) ∈ ℕ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℕ)
7776nnzd 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℤ)
7877znegcld 11318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝑑) ∈ ℤ)
79 rpexpcl 12698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑑) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ+)
809, 78, 79sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ+)
8180rpred 11706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ)
8280rpge0d 11710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑)))
83 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
8483nnnn0d 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8584, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
8685nnzd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
8786znegcld 11318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
889, 87, 41sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
89 halfre 11095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ
90 halfgt0 11097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < (1 / 2)
9189, 90elrpii 11669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℝ+
92 eluzelz 11531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑑 ∈ ℤ)
93 zsubcl 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑑𝐴) ∈ ℤ)
9492, 62, 93syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑𝐴) ∈ ℤ)
95 rpexpcl 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝑑𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℝ+)
9691, 94, 95sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℝ+)
9788, 96rpmulcld 11722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ+)
9897rpred 11706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ)
9981, 82, 98jca31 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ))
10099adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ))
10192adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
10278, 101zmulcld 11322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ)
103 rpexpcl 12698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ+)
1049, 102, 103sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ+)
105104rpred 11706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ)
106104rpge0d 11710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)))
10789a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
108105, 106, 107jca31 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
109108adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
110 simpr 475 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
11176nncnd 10885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℂ)
112101zcnd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℂ)
113111, 112mulneg1d 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) = -((!‘𝑑) · 𝑑))
11476, 73nnmulcld 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℕ)
115114nnge1d 10912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑))
116 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
117114nnred 10884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℝ)
118 leneg 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℝ) → (1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑) ↔ -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
119116, 117, 118sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑) ↔ -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
120115, 119mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1)
121113, 120eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1)
122 neg1z 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℤ
123 eluz 11535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ↔ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
124102, 122, 123sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ↔ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
125121, 124mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)))
126 2re 10939 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
127 1le2 11090 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≤ 2
128 leexp2a 12735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ -1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑))) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
129126, 127, 128mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
131 2cn 10940 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
132 expn1 12689 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑-1) = (1 / 2))
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2↑-1) = (1 / 2)
134130, 133syl6breq 4618 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))
135134adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))
136 lemul12a 10732 . . . . . . . . . . 11 (((((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ) ∧ (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ)) → (((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∧ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2)) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
1371363impia 1252 . . . . . . . . . 10 (((((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ) ∧ (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) ∧ ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∧ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
138100, 109, 110, 135, 137syl112anc 1321 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
139138ex 448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
140 facp1 12884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑑 + 1)) = ((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
14174, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘(𝑑 + 1)) = ((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
142141negeqd 10126 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘(𝑑 + 1)) = -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
143 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
144 addcom 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑑 + 1) = (1 + 𝑑))
145112, 143, 144sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) = (1 + 𝑑))
146145oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)))
147 peano2cn 10059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
148112, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
149111, 148mulneg1d 10334 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
15078zcnd 11317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝑑) ∈ ℂ)
151 1cnd 9912 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
152150, 151, 112adddid 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)) = ((-(!‘𝑑) · 1) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
153150mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 1) = -(!‘𝑑))
154153oveq1d 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((-(!‘𝑑) · 1) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
155152, 154eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
156146, 149, 1553eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
157142, 156eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘(𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
158157oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) = (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))))
159 2cnne0 11091 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
160 expaddz 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑑) ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
161159, 160mpan 701 . . . . . . . . . . 11 ((-(!‘𝑑) ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
16278, 102, 161syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
163158, 162eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
16445adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
165112, 151, 164addsubd 10264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝑑 + 1) − 𝐴) = ((𝑑𝐴) + 1))
166165oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)) = ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)))
167 uznn0sub 11553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑑𝐴) ∈ ℕ0)
168167adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑𝐴) ∈ ℕ0)
169 expp1 12686 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑑𝐴) ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
17048, 168, 169sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
171166, 170eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
172171oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2))))
17388rpcnd 11708 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
17496rpcnd 11708 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℂ)
17548a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
176173, 174, 175mulassd 9919 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2))))
177172, 176eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) = (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
178163, 177breq12d 4590 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) ↔ ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
179139, 178sylibrd 247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))))
180 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → (!‘𝑎) = (!‘𝑑))
181180negeqd 10126 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑑))
182181oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑑)))
183 ovex 6554 . . . . . . . . . 10 (2↑-(!‘𝑑)) ∈ V
184182, 5, 183fvmpt 6175 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) = (2↑-(!‘𝑑)))
18573, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑑) = (2↑-(!‘𝑑)))
186 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝐴) = (𝑑𝐴))
187186oveq2d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑑 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))
188187oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
189 ovex 6554 . . . . . . . . . 10 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ V
190188, 67, 189fvmpt 6175 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝑑) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
191190adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑑) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
192185, 191breq12d 4590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) ↔ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))))
19373peano2nnd 10886 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ)
194 fveq2 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (!‘𝑎) = (!‘(𝑑 + 1)))
195194negeqd 10126 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑑 + 1) → -(!‘𝑎) = -(!‘(𝑑 + 1)))
196195oveq2d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
197 ovex 6554 . . . . . . . . . 10 (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ∈ V
198196, 5, 197fvmpt 6175 . . . . . . . . 9 ((𝑑 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
199193, 198syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
200 peano2uz 11575 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
201 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (𝑐𝐴) = ((𝑑 + 1) − 𝐴))
202201oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑑 + 1) → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))
203202oveq2d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑑 + 1) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
204 ovex 6554 . . . . . . . . . . 11 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) ∈ V
205203, 67, 204fvmpt 6175 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
206200, 205syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
207206adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
208199, 207breq12d 4590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)) ↔ (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))))
209179, 192, 2083imtr4d 281 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1))))
210209expcom 449 . . . . 5 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
211210a2d 29 . . . 4 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑)) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
21223, 27, 31, 35, 72, 211uzind4 11580 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
213212impcom 444 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
214 0xr 9942 . . 3 0 ∈ ℝ*
21567aaliou3lem1 23845 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
216 elioc2 12065 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
217214, 215, 216sylancr 693 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
21818, 19, 213, 217mpbir3and 1237 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10535  cn 10869  2c2 10919  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  +crp 11666  (,]cioc 12005  cexp 12679  !cfa 12879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-ioc 12009  df-seq 12621  df-exp 12680  df-fac 12880
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  23847
  Copyright terms: Public domain W3C validator