MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem2 24143
Description: Lemma for aaliou3 24151. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑐   𝐴,𝑎,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝐺,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem2
Dummy variables 𝑏 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluznn 11796 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐵 → (!‘𝑎) = (!‘𝐵))
32negeqd 10313 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐵 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝐵))
43oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐵 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝐵)))
5 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
6 ovex 6718 . . . . . 6 (2↑-(!‘𝐵)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6321 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) = (2↑-(!‘𝐵)))
81, 7syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) = (2↑-(!‘𝐵)))
9 2rp 11875 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
101nnnn0d 11389 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
11 faccl 13110 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐵) ∈ ℕ)
1312nnzd 11519 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐵) ∈ ℤ)
1413znegcld 11522 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐵) ∈ ℤ)
15 rpexpcl 12919 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐵) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐵)) ∈ ℝ+)
169, 14, 15sylancr 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐵)) ∈ ℝ+)
178, 16eqeltrd 2730 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ+)
1817rpred 11910 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
1917rpgt0d 11913 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝐵))
20 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐴))
21 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝐴))
2220, 21breq12d 4698 . . . . 5 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴)))
2322imbi2d 329 . . . 4 (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))))
24 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑑))
25 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑑 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑑))
2624, 25breq12d 4698 . . . . 5 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑)))
2726imbi2d 329 . . . 4 (𝑏 = 𝑑 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑))))
28 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑑 + 1) → (𝐹𝑏) = (𝐹‘(𝑑 + 1)))
29 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑑 + 1) → (𝐺𝑏) = (𝐺‘(𝑑 + 1)))
3028, 29breq12d 4698 . . . . 5 (𝑏 = (𝑑 + 1) → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1))))
3130imbi2d 329 . . . 4 (𝑏 = (𝑑 + 1) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
32 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
33 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐺𝑏) = (𝐺𝐵))
3432, 33breq12d 4698 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏) ↔ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
3534imbi2d 329 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)) ↔ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
36 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
37 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
3938nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
4039znegcld 11522 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
41 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
429, 40, 41sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
4342rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ)
4443leidd 10632 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ≤ (2↑-(!‘𝐴)))
45 nncn 11066 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
4645subidd 10418 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴𝐴) = 0)
4746oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)) = ((1 / 2)↑0))
48 halfcn 11285 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ ℂ
49 exp0 12904 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑0) = 1
5147, 50syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)) = 1)
5251oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 1))
5342rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
5453mulid1d 10095 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 1) = (2↑-(!‘𝐴)))
5552, 54eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) = (2↑-(!‘𝐴)))
5644, 55breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
57 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝐴 → (!‘𝑎) = (!‘𝐴))
5857negeqd 10313 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝐴))
5958oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝐴)))
60 ovex 6718 . . . . . . 7 (2↑-(!‘𝐴)) ∈ V
6159, 5, 60fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) = (2↑-(!‘𝐴)))
62 nnz 11437 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
63 uzid 11740 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
64 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐴 → (𝑐𝐴) = (𝐴𝐴))
6564oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐴 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝐴𝐴)))
6665oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐴 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
67 aaliou3lem.a . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
68 ovex 6718 . . . . . . . 8 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))) ∈ V
6966, 67, 68fvmpt 6321 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝐴) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
7062, 63, 693syl 18 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐺𝐴) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝐴𝐴))))
7156, 61, 703brtr4d 4717 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴))
7271a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐴) ≤ (𝐺𝐴)))
73 eluznn 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ)
7473nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℕ0)
75 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ ℕ0 → (!‘𝑑) ∈ ℕ)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℕ)
7776nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℤ)
7877znegcld 11522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝑑) ∈ ℤ)
79 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝑑) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ+)
809, 78, 79sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ+)
8180rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ)
8280rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑)))
83 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ)
8483nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
8584, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
8685nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
8786znegcld 11522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
889, 87, 41sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
89 halfre 11284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) ∈ ℝ
90 halfgt0 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < (1 / 2)
9189, 90elrpii 11873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℝ+
92 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → 𝑑 ∈ ℤ)
93 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑑𝐴) ∈ ℤ)
9492, 62, 93syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑𝐴) ∈ ℤ)
95 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 / 2) ∈ ℝ+ ∧ (𝑑𝐴) ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℝ+)
9691, 94, 95sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℝ+)
9788, 96rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ+)
9897rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ)
9981, 82, 98jca31 556 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ))
10099adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ))
10192adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℤ)
10278, 101zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ)
103 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ+)
1049, 102, 103sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ+)
105104rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ)
106104rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)))
10789a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
108105, 106, 107jca31 556 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
109108adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
110 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
11176nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘𝑑) ∈ ℂ)
112101zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝑑 ∈ ℂ)
113111, 112mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) = -((!‘𝑑) · 𝑑))
11476, 73nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℕ)
115114nnge1d 11101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑))
116 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
117114nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℝ)
118 leneg 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℝ) → (1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑) ↔ -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
119116, 117, 118sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 ≤ ((!‘𝑑) · 𝑑) ↔ -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
120115, 119mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -((!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1)
121113, 120eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1)
122 neg1z 11451 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℤ
123 eluz 11739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ↔ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
124102, 122, 123sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ↔ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ≤ -1))
125121, 124mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)))
126 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
127 1le2 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≤ 2
128 leexp2a 12956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ -1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑))) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
129126, 127, 128mp3an12 1454 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ (ℤ‘(-(!‘𝑑) · 𝑑)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
130125, 129syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (2↑-1))
131 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
132 expn1 12910 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑-1) = (1 / 2))
133131, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2↑-1) = (1 / 2)
134130, 133syl6breq 4726 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))
135134adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))
136 lemul12a 10919 . . . . . . . . . . 11 (((((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ) ∧ (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ)) → (((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∧ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2)) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
1371363impia 1280 . . . . . . . . . 10 (((((2↑-(!‘𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑-(!‘𝑑))) ∧ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ ℝ) ∧ (((2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) ∧ ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∧ (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑)) ≤ (1 / 2))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
138100, 109, 110, 135, 137syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) ∧ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
139138ex 449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) → ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
140 facp1 13105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑑 + 1)) = ((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
14174, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (!‘(𝑑 + 1)) = ((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
142141negeqd 10313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘(𝑑 + 1)) = -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
143 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
144 addcom 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑑 + 1) = (1 + 𝑑))
145112, 143, 144sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) = (1 + 𝑑))
146145oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)))
147 peano2cn 10246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ ℂ → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
148112, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) ∈ ℂ)
149111, 148mulneg1d 10521 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)))
15078zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘𝑑) ∈ ℂ)
151 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 1 ∈ ℂ)
152150, 151, 112adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)) = ((-(!‘𝑑) · 1) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
153150mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · 1) = -(!‘𝑑))
154153oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((-(!‘𝑑) · 1) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
155152, 154eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (-(!‘𝑑) · (1 + 𝑑)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
156146, 149, 1553eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -((!‘𝑑) · (𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
157142, 156eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → -(!‘(𝑑 + 1)) = (-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑)))
158157oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) = (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))))
159 2cnne0 11280 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
160 expaddz 12944 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (-(!‘𝑑) ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ)) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
161159, 160mpan 706 . . . . . . . . . . 11 ((-(!‘𝑑) ∈ ℤ ∧ (-(!‘𝑑) · 𝑑) ∈ ℤ) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
16278, 102, 161syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑(-(!‘𝑑) + (-(!‘𝑑) · 𝑑))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
163158, 162eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) = ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))))
16445adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
165112, 151, 164addsubd 10451 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝑑 + 1) − 𝐴) = ((𝑑𝐴) + 1))
166165oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)) = ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)))
167 uznn0sub 11757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑑𝐴) ∈ ℕ0)
168167adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑𝐴) ∈ ℕ0)
169 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑑𝐴) ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
17048, 168, 169sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑𝐴) + 1)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
171166, 170eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)) = (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2)))
172171oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2))))
17388rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
17496rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) ∈ ℂ)
17548a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
176173, 174, 175mulassd 10101 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · (((1 / 2)↑(𝑑𝐴)) · (1 / 2))))
177172, 176eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) = (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2)))
178163, 177breq12d 4698 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) ↔ ((2↑-(!‘𝑑)) · (2↑(-(!‘𝑑) · 𝑑))) ≤ (((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) · (1 / 2))))
179139, 178sylibrd 249 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) → (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))))
180 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑑 → (!‘𝑎) = (!‘𝑑))
181180negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑑 → -(!‘𝑎) = -(!‘𝑑))
182181oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑑 → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘𝑑)))
183 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (2↑-(!‘𝑑)) ∈ V
184182, 5, 183fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) = (2↑-(!‘𝑑)))
18573, 184syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑑) = (2↑-(!‘𝑑)))
186 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐𝐴) = (𝑑𝐴))
187186oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝑑 → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))
188187oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
189 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))) ∈ V
190188, 67, 189fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺𝑑) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
191190adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑑) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴))))
192185, 191breq12d 4698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) ↔ (2↑-(!‘𝑑)) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑑𝐴)))))
19373peano2nnd 11075 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝑑 + 1) ∈ ℕ)
194 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (!‘𝑎) = (!‘(𝑑 + 1)))
195194negeqd 10313 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑑 + 1) → -(!‘𝑎) = -(!‘(𝑑 + 1)))
196195oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑑 + 1) → (2↑-(!‘𝑎)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
197 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ∈ V
198196, 5, 197fvmpt 6321 . . . . . . . . 9 ((𝑑 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
199193, 198syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) = (2↑-(!‘(𝑑 + 1))))
200 peano2uz 11779 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
201 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝑑 + 1) → (𝑐𝐴) = ((𝑑 + 1) − 𝐴))
202201oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝑑 + 1) → ((1 / 2)↑(𝑐𝐴)) = ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))
203202oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝑑 + 1) → ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
204 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))) ∈ V
205203, 67, 204fvmpt 6321 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
206200, 205syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
207206adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺‘(𝑑 + 1)) = ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴))))
208199, 207breq12d 4698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)) ↔ (2↑-(!‘(𝑑 + 1))) ≤ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑((𝑑 + 1) − 𝐴)))))
209179, 192, 2083imtr4d 283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1))))
210209expcom 450 . . . . 5 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑) → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
211210a2d 29 . . . 4 (𝑑 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝑑) ≤ (𝐺𝑑)) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑑 + 1)) ≤ (𝐺‘(𝑑 + 1)))))
21223, 27, 31, 35, 72, 211uzind4 11784 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 ∈ ℕ → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵)))
213212impcom 445 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))
214 0xr 10124 . . 3 0 ∈ ℝ*
21567aaliou3lem1 24142 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
216 elioc2 12274 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
217214, 215, 216sylancr 696 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐵) ≤ (𝐺𝐵))))
21818, 19, 213, 217mpbir3and 1264 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝐵) ∈ (0(,](𝐺𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  (,]cioc 12214  cexp 12900  !cfa 13100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioc 12218  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101
This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  24144
  Copyright terms: Public domain W3C validator