MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem9 24150
Description: Example of a "Liouville number", a very simple definable transcendental real. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.c 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
aaliou3lem.d 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
aaliou3lem.e 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem9 ¬ 𝐿 ∈ 𝔸
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐   𝐹,𝑏,𝑐   𝐿,𝑐,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐻(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem9
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aaliou3lem8 24145 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑒 ∈ ℕ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
2 aaliou3lem.c . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
3 aaliou3lem.d . . . . . . . . 9 𝐿 = Σ𝑏 ∈ ℕ (𝐹𝑏)
4 aaliou3lem.e . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑐 ∈ ℕ ↦ Σ𝑏 ∈ (1...𝑐)(𝐹𝑏))
52, 3, 4aaliou3lem6 24148 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
65ad2antrl 764 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ)
7 2nn 11223 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnnn0 11337 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ℕ → 𝑒 ∈ ℕ0)
98ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑒 ∈ ℕ0)
10 faccl 13110 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ℕ0 → (!‘𝑒) ∈ ℕ)
11 nnnn0 11337 . . . . . . . . 9 ((!‘𝑒) ∈ ℕ → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘𝑒) ∈ ℕ0)
13 nnexpcl 12913 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑒) ∈ ℕ0) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
147, 12, 13sylancr 696 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ)
152, 3, 4aaliou3lem5 24147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻𝑒) ∈ ℝ)
1615ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ∈ ℂ)
1814nncnd 11074 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ≠ 0)
2017, 18, 19divcan4d 10845 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) = (𝐻𝑒))
212, 3, 4aaliou3lem7 24149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ ℕ → ((𝐻𝑒) ≠ 𝐿 ∧ (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1))))))
2221simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℕ → (𝐻𝑒) ≠ 𝐿)
2322ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐻𝑒) ≠ 𝐿)
2420, 23eqnetrd 2890 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ≠ 𝐿)
2524necomd 2878 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝐿 ≠ (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
2625neneqd 2828 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
272, 3, 4aaliou3lem4 24146 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 ∈ ℝ
2814nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℝ)
2916, 28remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
3029, 14nndivred 11107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ)
31 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℝ) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
3227, 30, 31sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℝ)
3332recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) ∈ ℂ)
3433abscld 14219 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ∈ ℝ)
35 2rp 11875 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
36 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℕ0 → (𝑒 + 1) ∈ ℕ0)
37 faccl 13110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
389, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ)
39 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℕ → (!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
40 znegcl 11450 . . . . . . . . . . . . 13 ((!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ)
42 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘(𝑒 + 1)) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
4335, 41, 42sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+)
44 rpmulcl 11893 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑-(!‘(𝑒 + 1))) ∈ ℝ+) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
4535, 43, 44sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ+)
4645rpred 11910 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ∈ ℝ)
47 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
48 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
4948ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
5014, 49nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℕ)
5150nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎) ∈ ℝ+)
5247, 51rpdivcld 11927 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ+)
5352rpred 11910 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ∈ ℝ)
5420oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))) = (𝐿 − (𝐻𝑒)))
5554fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) = (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))))
5621simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℕ → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
5756ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (𝐻𝑒))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
5855, 57eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))))
59 simprr 811 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
6034, 46, 53, 58, 59letrd 10232 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
6134, 53lenltd 10221 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ((abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
6260, 61mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
63 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝑓 / 𝑑) = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))
6463eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6564notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6663oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (𝐿 − (𝑓 / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))
6766fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))
6867breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
6968notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → (¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))))
7065, 69anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑓 = ((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) → ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))))))
71 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))
7271eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
7372notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ↔ ¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
74 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑑𝑎) = ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎))
7574oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝑏 / (𝑑𝑎)) = (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))
7671oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)) = (𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))
7776fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) = (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))
7875, 77breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
7978notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → (¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑))) ↔ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒)))))))
8073, 79anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑑 = (2↑(!‘𝑒)) → ((¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / 𝑑)))) ↔ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))))
8170, 80rspc2ev 3355 . . . . . . 7 ((((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) ∈ ℤ ∧ (2↑(!‘𝑒)) ∈ ℕ ∧ (¬ 𝐿 = (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))) ∧ ¬ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (((𝐻𝑒) · (2↑(!‘𝑒))) / (2↑(!‘𝑒))))))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
826, 14, 26, 62, 81syl112anc 1370 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ ℕ ∧ (2 · (2↑-(!‘(𝑒 + 1)))) ≤ (𝑏 / ((2↑(!‘𝑒))↑𝑎)))) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
831, 82rexlimddv 3064 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
84 pm4.56 515 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8584rexbii 3070 . . . . . . . 8 (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
86 rexnal 3024 . . . . . . . 8 (∃𝑑 ∈ ℕ ¬ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8785, 86bitri 264 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
8887rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
89 rexnal 3024 . . . . . 6 (∃𝑓 ∈ ℤ ¬ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9088, 89bitri 264 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℕ (¬ 𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∧ ¬ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9183, 90sylib 208 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ¬ ∀𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9291nrexdv 3030 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ → ¬ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9392nrex 3029 . 2 ¬ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑))))
94 aaliou2b 24141 . 2 (𝐿 ∈ 𝔸 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℤ ∀𝑑 ∈ ℕ (𝐿 = (𝑓 / 𝑑) ∨ (𝑏 / (𝑑𝑎)) < (abs‘(𝐿 − (𝑓 / 𝑑)))))
9593, 94mto 188 1 ¬ 𝐿 ∈ 𝔸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  !cfa 13100  abscabs 14018  Σcsu 14460  𝔸caa 24114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-dvn 23677  df-cpn 23678  df-ply 23989  df-idp 23990  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-quot 24091  df-aa 24115
This theorem is referenced by:  aaliou3  24151
  Copyright terms: Public domain W3C validator