MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem2 24849
Description: Lemma for aaliou 24854. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
aalioulem2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem2
Dummy variables 𝑟 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1rp 12381 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
2 snssi 4733 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → {1} ⊆ ℝ+)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 {1} ⊆ ℝ+
4 ssrab2 4053 . . . . . 6 {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ ℝ+
53, 4unssi 4158 . . . . 5 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ+
6 ltso 10709 . . . . . . 7 < Or ℝ
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ)
8 snfi 8582 . . . . . . 7 {1} ∈ Fin
9 aalioulem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
10 aalioulem2.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1110nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12 aalioulem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = (deg‘𝐹)
1312eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘𝐹) = 𝑁
14 dgr0 24779 . . . . . . . . . . . . 13 (deg‘0𝑝) = 0
1511, 13, 143netr4g 3092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (deg‘𝐹) ≠ (deg‘0𝑝))
16 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
1716necon3i 3045 . . . . . . . . . . . 12 ((deg‘𝐹) ≠ (deg‘0𝑝) → 𝐹 ≠ 0𝑝)
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
19 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ {0}) = (𝐹 “ {0})
2019fta1 24824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝) → ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
219, 18, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝐹 “ {0})) ≤ (deg‘𝐹)))
2221simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ {0}) ∈ Fin)
23 abrexfi 8812 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ {0}) ∈ Fin → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
25 rabssab 4057 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}
26 ssfi 8726 . . . . . . . 8 (({𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ⊆ {𝑎 ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) → {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
2724, 25, 26sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin)
28 unfi 8773 . . . . . . 7 (({1} ∈ Fin ∧ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} ∈ Fin) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin)
298, 27, 28sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin)
30 1ex 10625 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3130snid 4591 . . . . . . . 8 1 ∈ {1}
32 elun1 4149 . . . . . . . 8 (1 ∈ {1} → 1 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
33 ne0i 4297 . . . . . . . 8 (1 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅)
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . 7 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅)
36 rpssre 12384 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
375, 36sstri 3973 . . . . . . 7 ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ
3837a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)
39 fiinfcl 8953 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ∈ Fin ∧ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ≠ ∅ ∧ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ)) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
407, 29, 35, 38, 39syl13anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
415, 40sseldi 3962 . . . 4 (𝜑 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+)
42 0re 10631 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
43 rpge0 12390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑑)
4443rgen 3145 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑
45 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 0 → (𝑐𝑑 ↔ 0 ≤ 𝑑))
4645ralbidv 3194 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 0 → (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 ↔ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑))
4746rspcev 3620 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 0 ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑)
4842, 44, 47mp2an 688 . . . . . . . . . 10 𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑
49 ssralv 4030 . . . . . . . . . . . 12 (({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ+ → (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑))
505, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
5150reximi 3240 . . . . . . . . . 10 (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ℝ+ 𝑐𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑)
5248, 51ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑
53 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑟)) → (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
5453rexbidv 3294 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (abs‘(𝐴𝑟)) → (∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏))))
55 aalioulem2.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5655ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
57 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
5856, 57resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ∈ ℝ)
5958recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ∈ ℂ)
6055ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
6160recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
62 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℝ)
6362recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → 𝑟 ∈ ℂ)
6461, 63subeq0ad 10995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → ((𝐴𝑟) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑟))
6564necon3abid 3049 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → ((𝐴𝑟) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 𝑟))
6665biimprd 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (¬ 𝐴 = 𝑟 → (𝐴𝑟) ≠ 0))
6766impr 455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐴𝑟) ≠ 0)
6859, 67absrpcld 14796 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ℝ+)
6957recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℂ)
70 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝐹𝑟) = 0)
71 plyf 24715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (Poly‘ℤ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
729, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
7372ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
7473ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝐹 Fn ℂ)
75 fniniseg 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn ℂ → (𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑟) = 0)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ↔ (𝑟 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑟) = 0)))
7769, 70, 76mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}))
78 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))
79 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑟 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑟))
8079fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑟 → (abs‘(𝐴𝑏)) = (abs‘(𝐴𝑟)))
8180rspceeqv 3635 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ (𝐹 “ {0}) ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑟))) → ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)))
8277, 78, 81sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})(abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴𝑏)))
8354, 68, 82elrabd 3679 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})
84 elun2 4150 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐴𝑟)) ∈ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))} → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
8583, 84syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}))
86 infrelb 11614 . . . . . . . . 9 ((({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑑 ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})𝑐𝑑 ∧ (abs‘(𝐴𝑟)) ∈ ({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))})) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
8737, 52, 85, 86mp3an12i 1456 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ ((𝐹𝑟) = 0 ∧ ¬ 𝐴 = 𝑟)) → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))
8887expr 457 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (¬ 𝐴 = 𝑟 → inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
8988orrd 857 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝐹𝑟) = 0) → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9089ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9190ralrimiva 3179 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
92 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))
9392orbi2d 909 . . . . . . 7 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → ((𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9493imbi2d 342 . . . . . 6 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))))
9594ralbidv 3194 . . . . 5 (𝑥 = inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) → (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))))
9695rspcev 3620 . . . 4 ((inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟 ∨ inf(({1} ∪ {𝑎 ∈ ℝ+ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐹 “ {0})𝑎 = (abs‘(𝐴𝑏))}), ℝ, < ) ≤ (abs‘(𝐴𝑟))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
9741, 91, 96syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))))
98 fveqeq2 6672 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝐹𝑟) = 0 ↔ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0))
99 eqeq2 2830 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴 = 𝑟𝐴 = (𝑝 / 𝑞)))
100 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝐴𝑟) = (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))
101100fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (abs‘(𝐴𝑟)) = (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
102101breq2d 5069 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
10399, 102orbi12d 912 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → ((𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
10498, 103imbi12d 346 . . . . . . 7 (𝑟 = (𝑝 / 𝑞) → (((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) ↔ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
105104rspcv 3615 . . . . . 6 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ → (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
106 znq 12340 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
107 qre 12341 . . . . . . 7 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
108106, 107syl 17 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
109105, 108syl11 33 . . . . 5 (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
110109ralrimivv 3187 . . . 4 (∀𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
111110reximi 3240 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ ((𝐹𝑟) = 0 → (𝐴 = 𝑟𝑥 ≤ (abs‘(𝐴𝑟)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
11297, 111syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
113 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
114 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℕ)
11510nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
116115ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117114, 116nnexpcld 13594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℕ)
118117nnrpd 12417 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
119113, 118rpdivcld 12436 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
120119rpred 12419 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
121120adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
122 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
123122rpred 12419 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12455ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
125108adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
126124, 125resubcld 11056 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
127126recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
128127abscld 14784 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
129128adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
130 rpre 12385 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
131130ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
132113rpcnne0d 12428 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
133 divid 11315 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
135117nnge1d 11673 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑞𝑁))
136134, 135eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑥) ≤ (𝑞𝑁))
137131, 113, 118, 136lediv23d 12487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ 𝑥)
138137adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ 𝑥)
139 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
140121, 123, 129, 138, 139letrd 10785 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
141140ex 413 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
142141orim2d 960 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
143142imim2d 57 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
144143ralimdvva 3176 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
145144reximdva 3271 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ 𝑥 ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
146112, 145mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057   Or wor 5466  ccnv 5547  cima 5551   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cq 12336  +crp 12377  cexp 13417  chash 13678  abscabs 14581  0𝑝c0p 24197  Polycply 24701  degcdgr 24704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-0p 24198  df-ply 24705  df-idp 24706  df-coe 24707  df-dgr 24708  df-quot 24807
This theorem is referenced by:  aalioulem6  24853
  Copyright terms: Public domain W3C validator