MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem6 24289
Description: Lemma for aaliou 24290. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 aalioulem2.b . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3 aalioulem2.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 aalioulem2.d . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4aalioulem2 24285 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6 aalioulem3.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 24288 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
8 reeanv 3243 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
95, 7, 8sylanbrc 701 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
10 r19.26-2 3201 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) ↔ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
11 ifcl 4272 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
1211adantl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
13 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0)
1411ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
15 nnrp 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ+)
1615ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
173ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nnzd 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1916, 18rpexpcld 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
2014, 19rpdivcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
2120rpred 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
22 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
2322, 19rpdivcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
2423rpred 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
254ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 znq 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
27 qre 11984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
3130recnd 10258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
3231abscld 14372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
3321, 24, 323jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
3433adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
3514rpred 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
3622rpred 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
37 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
3837rpred 12063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
39 min1 12211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
4036, 38, 39syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
4135, 36, 19, 40lediv1dd 12121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)))
4241anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
43 letr 10321 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4434, 42, 43sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
4544ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4645adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4746orim2d 921 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4813, 47embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4948adantrd 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
50 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
5137, 19rpdivcld 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
5251rpred 12063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
5321, 52, 323jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
55 min2 12212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
5636, 38, 55syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
5735, 38, 19, 56lediv1dd 12121 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)))
5857anim1i 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
59 letr 10321 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6054, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
6160ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6261adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6362orim2d 921 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6450, 63embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6564adantld 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6649, 65pm2.61dane 3017 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6766ralimdvva 3100 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
68 oveq1 6818 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) = (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)))
6968breq1d 4812 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7069orbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71702ralbidv 3125 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7271rspcev 3447 . . . . 5 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7312, 67, 72syl6an 569 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7410, 73syl5bir 233 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7574rexlimdvva 3174 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
769, 75mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wrex 3049  ifcif 4228   class class class wbr 4802  cfv 6047  (class class class)co 6811  cr 10125  0cc0 10126  cle 10265  cmin 10456   / cdiv 10874  cn 11210  cz 11567  cq 11979  +crp 12023  cexp 13052  abscabs 14171  Polycply 24137  degcdgr 24140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-xnn0 11554  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-cmp 21390  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-0p 23634  df-limc 23827  df-dv 23828  df-dvn 23829  df-cpn 23830  df-ply 24141  df-idp 24142  df-coe 24143  df-dgr 24144  df-quot 24243
This theorem is referenced by:  aaliou  24290
  Copyright terms: Public domain W3C validator