MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannenlem3 24130
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
aannenlem.a 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
Assertion
Ref Expression
aannenlem3 𝔸 ≈ ℕ
Distinct variable group:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑒,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aannenlem3
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aannenlem.a . . . . . 6 𝐻 = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0})
21aannenlem2 24129 . . . . 5 𝔸 = ran 𝐻
3 omelon 8581 . . . . . . . . . 10 ω ∈ On
4 nn0ennn 12818 . . . . . . . . . . . 12 0 ≈ ℕ
5 nnenom 12819 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ≈ ω
64, 5entri 8051 . . . . . . . . . . 11 0 ≈ ω
76ensymi 8047 . . . . . . . . . 10 ω ≈ ℕ0
8 isnumi 8810 . . . . . . . . . 10 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ0) → ℕ0 ∈ dom card)
93, 7, 8mp2an 708 . . . . . . . . 9 0 ∈ dom card
10 cnex 10055 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ∈ V
1110rabex 4845 . . . . . . . . . . 11 {𝑏 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (Poly‘ℤ) ∣ (𝑑 ≠ 0𝑝 ∧ (deg‘𝑑) ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑒 ∈ ℕ0 (abs‘((coeff‘𝑑)‘𝑒)) ≤ 𝑎)} (𝑐𝑏) = 0} ∈ V
1211, 1fnmpti 6060 . . . . . . . . . 10 𝐻 Fn ℕ0
13 dffn4 6159 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻)
1412, 13mpbi 220 . . . . . . . . 9 𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻
15 fodomnum 8918 . . . . . . . . 9 (ℕ0 ∈ dom card → (𝐻:ℕ0onto→ran 𝐻 → ran 𝐻 ≼ ℕ0))
169, 14, 15mp2 9 . . . . . . . 8 ran 𝐻 ≼ ℕ0
17 domentr 8056 . . . . . . . 8 ((ran 𝐻 ≼ ℕ0 ∧ ℕ0 ≈ ω) → ran 𝐻 ≼ ω)
1816, 6, 17mp2an 708 . . . . . . 7 ran 𝐻 ≼ ω
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
20 fvelrnb 6282 . . . . . . . . . 10 (𝐻 Fn ℕ0 → (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓))
2112, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ran 𝐻 ↔ ∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓)
221aannenlem1 24128 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑔) ∈ Fin)
23 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝑔) = 𝑓 → ((𝐻𝑔) ∈ Fin ↔ 𝑓 ∈ Fin))
2422, 23syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ ℕ0 → ((𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin))
2524rexlimiv 3056 . . . . . . . . 9 (∃𝑔 ∈ ℕ0 (𝐻𝑔) = 𝑓𝑓 ∈ Fin)
2621, 25sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ran 𝐻𝑓 ∈ Fin)
2726ssriv 3640 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ Fin
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ⊆ Fin)
29 aasscn 24118 . . . . . . . 8 𝔸 ⊆ ℂ
302, 29eqsstr3i 3669 . . . . . . 7 ran 𝐻 ⊆ ℂ
31 soss 5082 . . . . . . 7 ( ran 𝐻 ⊆ ℂ → (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑓 Or ℂ → 𝑓 Or ran 𝐻)
33 iunfictbso 8975 . . . . . 6 ((ran 𝐻 ≼ ω ∧ ran 𝐻 ⊆ Fin ∧ 𝑓 Or ran 𝐻) → ran 𝐻 ≼ ω)
3419, 28, 32, 33syl3anc 1366 . . . . 5 (𝑓 Or ℂ → ran 𝐻 ≼ ω)
352, 34syl5eqbr 4720 . . . 4 (𝑓 Or ℂ → 𝔸 ≼ ω)
36 cnso 15020 . . . 4 𝑓 𝑓 Or ℂ
3735, 36exlimiiv 1899 . . 3 𝔸 ≼ ω
385ensymi 8047 . . 3 ω ≈ ℕ
39 domentr 8056 . . 3 ((𝔸 ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝔸 ≼ ℕ)
4037, 38, 39mp2an 708 . 2 𝔸 ≼ ℕ
4110, 29ssexi 4836 . . 3 𝔸 ∈ V
42 nnssq 11835 . . . 4 ℕ ⊆ ℚ
43 qssaa 24124 . . . 4 ℚ ⊆ 𝔸
4442, 43sstri 3645 . . 3 ℕ ⊆ 𝔸
45 ssdomg 8043 . . 3 (𝔸 ∈ V → (ℕ ⊆ 𝔸 → ℕ ≼ 𝔸))
4641, 44, 45mp2 9 . 2 ℕ ≼ 𝔸
47 sbth 8121 . 2 ((𝔸 ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝔸) → 𝔸 ≈ ℕ)
4840, 46, 47mp2an 708 1 𝔸 ≈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Or wor 5063  dom cdm 5143  ran crn 5144  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  ontowfo 5924  cfv 5926  ωcom 7107  cen 7994  cdom 7995  Fincfn 7997  cardccrd 8799  cc 9972  0cc0 9974  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cq 11826  abscabs 14018  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988  𝔸caa 24114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-idp 23990  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-quot 24091  df-aa 24115
This theorem is referenced by:  aannen  24131
  Copyright terms: Public domain W3C validator