MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelth2 23914
Description: Abel's theorem, restricted to the [0, 1] interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth2.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth2.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth2.3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelth2 (𝜑𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem abelth2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 12143 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 9846 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3573 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
5 1re 9892 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
6 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ∈ (0[,]1))
7 0re 9893 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
87, 5elicc2i 12063 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
96, 8sylib 206 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 1))
109simp1d 1065 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ∈ ℝ)
11 resubcl 10193 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
125, 10, 11sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℝ)
1312leidd 10440 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ≤ (1 − 𝑧))
14 1red 9908 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
159simp3d 1067 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 𝑧 ≤ 1)
1610, 14, 15abssubge0d 13961 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
179simp2d 1066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑧)
1810, 17absidd 13952 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑧) = 𝑧)
1918oveq2d 6540 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − (abs‘𝑧)) = (1 − 𝑧))
2019oveq2d 6540 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 · (1 − 𝑧)))
2112recnd 9921 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑧) ∈ ℂ)
2221mulid2d 9911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − 𝑧)) = (1 − 𝑧))
2320, 22eqtrd 2640 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (1 · (1 − (abs‘𝑧))) = (1 − 𝑧))
2413, 16, 233brtr4d 4606 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧))))
254, 24ssrabdv 3640 . . . 4 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))})
2625resmptd 5355 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
27 abelth2.3 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
2826, 27syl6eqr 2658 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) = 𝐹)
29 abelth2.1 . . . 4 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
30 abelth2.2 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
31 1red 9908 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
32 0le1 10397 . . . . 5 0 ≤ 1
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 1)
34 eqid 2606 . . . 4 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}
35 eqid 2606 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
3629, 30, 31, 33, 34, 35abelth 23913 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ))
37 rescncf 22436 . . 3 ((0[,]1) ⊆ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ∈ ({𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))}–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
3825, 36, 37sylc 62 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (1 · (1 − (abs‘𝑧)))} ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
3928, 38eqeltrrd 2685 1 (𝜑𝐹 ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2896  wss 3536   class class class wbr 4574  cmpt 4634  dom cdm 5025  cres 5027  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794  cle 9928  cmin 10114  0cn0 11136  [,]cicc 12002  seqcseq 12615  cexp 12674  abscabs 13765  cli 14006  Σcsu 14207  cnccncf 22415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-inf2 8395  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867  ax-addf 9868  ax-mulf 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-iin 4449  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-se 4985  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-isom 5796  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-of 6769  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-pm 7721  df-ixp 7769  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-fi 8174  df-sup 8205  df-inf 8206  df-oi 8272  df-card 8622  df-cda 8847  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-n0 11137  df-z 11208  df-dec 11323  df-uz 11517  df-q 11618  df-rp 11662  df-xneg 11775  df-xadd 11776  df-xmul 11777  df-ico 12005  df-icc 12006  df-fz 12150  df-fzo 12287  df-fl 12407  df-seq 12616  df-exp 12675  df-hash 12932  df-shft 13598  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-limsup 13993  df-clim 14010  df-rlim 14011  df-sum 14208  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-starv 15726  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-ip 15729  df-tset 15730  df-ple 15731  df-ds 15734  df-unif 15735  df-hom 15736  df-cco 15737  df-rest 15849  df-topn 15850  df-0g 15868  df-gsum 15869  df-topgen 15870  df-pt 15871  df-prds 15874  df-xrs 15928  df-qtop 15933  df-imas 15934  df-xps 15936  df-mre 16012  df-mrc 16013  df-acs 16015  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-submnd 17102  df-mulg 17307  df-cntz 17516  df-cmn 17961  df-psmet 19502  df-xmet 19503  df-met 19504  df-bl 19505  df-mopn 19506  df-cnfld 19511  df-top 20460  df-bases 20461  df-topon 20462  df-topsp 20463  df-cld 20572  df-ntr 20573  df-cn 20780  df-cnp 20781  df-t1 20867  df-haus 20868  df-tx 21114  df-hmeo 21307  df-xms 21873  df-ms 21874  df-tms 21875  df-cncf 22417  df-ulm 23849
This theorem is referenced by:  leibpi  24383
  Copyright terms: Public domain W3C validator