Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem4 24105
 Description: Lemma for abelth 24112. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelthlem4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11673 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11340 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 0 ∈ ℤ)
3 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴𝑚) = (𝐴𝑛))
4 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑥𝑚) = (𝑥𝑛))
53, 4oveq12d 6628 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)) = ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
6 eqid 2621 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
7 ovex 6638 . . . . 5 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6244 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
98adantl 482 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
10 abelth.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1211ffvelrnda 6320 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑛) ∈ ℂ)
13 abelth.5 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
14 ssrab2 3671 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))} ⊆ ℂ
1513, 14eqsstri 3619 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ ℂ
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1716sselda 3587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
18 expcl 12825 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
1917, 18sylan 488 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑛) ∈ ℂ)
2012, 19mulcld 10011 . . 3 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) ∈ ℂ)
21 abelth.2 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
22 abelth.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
23 abelth.4 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
2410, 21, 22, 23, 13abelthlem3 24104 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
251, 2, 9, 20, 24isumcl 14427 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) ∈ ℂ)
26 abelth.6 . 2 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
2725, 26fmptd 6346 1 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911   ⊆ wss 3559   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  dom cdm 5079  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ℂcc 9885  ℝcr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892   ≤ cle 10026   − cmin 10217  ℕ0cn0 11243  seqcseq 12748  ↑cexp 12807  abscabs 13915   ⇝ cli 14156  Σcsu 14357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-xadd 11898  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-limsup 14143  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669 This theorem is referenced by:  abelthlem7  24109  abelthlem8  24110  abelthlem9  24111  abelth  24112
 Copyright terms: Public domain W3C validator