Theorem abelthlem4 25021

Description: Lemma for abelth 25028. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12279	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 11992	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
3		fveq2 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
4		oveq2 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑛))
5	3, 4	oveq12d 7173	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
7		ovex 7188	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6767	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
9	8	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
10		abelth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11	10	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	11	ffvelrnda 6850	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
13		abelth.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
14	13	ssrab3 4056	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		expcl 13446	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylan 582	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
19	12, 18	mulcld 10660	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
20		abelth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
21		abelth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		abelth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
23	10, 20, 21, 22, 13	abelthlem3 25020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
24	1, 2, 9, 19, 23	isumcl 15115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
25		abelth.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	fmptd 6877	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  dom cdm 5554  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   ≤ cle 10675   − cmin 10869  ℕ₀cn0 11896  seqcseq 13368  ↑cexp 13428  abscabs 14592   ⇝ cli 14840  Σcsu 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-xadd 12507  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539

This theorem is referenced by:  abelthlem7  25025  abelthlem8  25026  abelthlem9  25027  abelth  25028