MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem5 23910
Description: Lemma for abelth 23916. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11554 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11222 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 1rp 11668 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2610 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑚))
6 abelth.7 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
71, 2, 4, 5, 6climi0 14037 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
87adantr 479 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
9 simprl 789 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
10 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → ((abs‘𝑋)↑𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
11 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
12 ovex 6555 . . . . . 6 ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6176 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
1413adantl 480 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
15 cnxmet 22318 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 0cn 9888 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
17 rpxr 11672 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
19 blssm 21974 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
2015, 16, 18, 19mp3an 1415 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
21 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
2220, 21sseldi 3565 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2322abscld 13969 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
24 reexpcl 12694 . . . . 5 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2523, 24sylan 486 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2614, 25eqeltrd 2687 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) ∈ ℝ)
27 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
28 oveq2 6535 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
2927, 28oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
30 eqid 2609 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
31 ovex 6555 . . . . . 6 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6176 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
3332adantl 480 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
34 abelth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
361, 2, 35serf 12646 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3736ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6252 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
39 expcl 12695 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
4022, 39sylan 486 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
4138, 40mulcld 9916 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
4233, 41eqeltrd 2687 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4323recnd 9924 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
44 absidm 13857 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
4522, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
46 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4746cnmetdval 22316 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4822, 16, 47sylancl 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4922subid1d 10232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
5049fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
5148, 50eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
52 elbl3 21948 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5315, 18, 52mpanl12 713 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5416, 22, 53sylancr 693 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5521, 54mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
5651, 55eqbrtrrd 4601 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) < 1)
5745, 56eqbrtrd 4599 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
5843, 57, 14geolim 14386 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))))
59 climrel 14017 . . . . 5 Rel ⇝
6059releldmi 5270 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
62 1red 9911 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
6337adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
64 eluznn0 11589 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
659, 64sylan 486 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6663, 65ffvelrnd 6253 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
6765, 40syldan 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6866, 67absmuld 13987 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))))
6922adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
7069, 65absexpd 13985 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝑋𝑖)) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
7170oveq2d 6543 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7268, 71eqtrd 2643 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7366abscld 13969 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
74 1red 9911 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
7565, 25syldan 485 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
7667absge0d 13977 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝑋𝑖)))
7776, 70breqtrd 4603 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑖))
78 simprr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
79 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
8079fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑖 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
8180breq1d 4587 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑖 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1))
8281rspccva 3280 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
8378, 82sylan 486 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
84 1re 9895 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
85 ltle 9977 . . . . . . . 8 (((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8673, 84, 85sylancl 692 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8783, 86mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1)
8873, 74, 75, 77, 87lemul1ad 10812 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
8972, 88eqbrtrd 4599 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
9065, 32syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
9190fveq2d 6092 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
9265, 13syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
9392oveq2d 6543 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)) = (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
9489, 91, 933brtr4d 4609 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)))
951, 9, 26, 42, 61, 62, 94cvgcmpce 14337 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
968, 95rexlimddv 3016 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  wss 3539   class class class wbr 4577  cmpt 4637  dom cdm 5028  ccom 5032  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  0cn0 11139  cuz 11519  +crp 11664  seqcseq 12618  cexp 12677  abscabs 13768  cli 14009  Σcsu 14210  ∞Metcxmt 19498  ballcbl 19500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-ico 12008  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508
This theorem is referenced by:  abelthlem6  23911  abelthlem7  23913
  Copyright terms: Public domain W3C validator