Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem5 24234
 Description: Lemma for abelth 24240. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6 𝐹 = (𝑥𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))
abelth.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
Assertion
Ref Expression
abelthlem5 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝑥,𝑧,𝑀   𝑘,𝑋,𝑛,𝑥,𝑧   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem5
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11760 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11427 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 1rp 11874 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 eqidd 2652 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑚))
6 abelth.7 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ⇝ 0)
71, 2, 4, 5, 6climi0 14287 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
87adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
9 simprl 809 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
10 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 → ((abs‘𝑋)↑𝑛) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
11 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))
12 ovex 6718 . . . . . 6 ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
1413adantl 481 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
15 cnxmet 22623 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 0cn 10070 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
17 rpxr 11878 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
19 blssm 22270 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
2015, 16, 18, 19mp3an 1464 . . . . . . 7 (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
21 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1))
2220, 21sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2322abscld 14219 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
24 reexpcl 12917 . . . . 5 (((abs‘𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2523, 24sylan 487 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
2614, 25eqeltrd 2730 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) ∈ ℝ)
27 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑘) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
28 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
2927, 28oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
30 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
31 ovex 6718 . . . . . 6 ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
3332adantl 481 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
34 abelth.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
3534ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑥) ∈ ℂ)
361, 2, 35serf 12869 . . . . . . 7 (𝜑 → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3736ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
3837ffvelrnda 6399 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
39 expcl 12918 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
4022, 39sylan 487 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
4138, 40mulcld 10098 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)) ∈ ℂ)
4233, 41eqeltrd 2730 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) ∈ ℂ)
4323recnd 10106 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
44 absidm 14107 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
4522, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) = (abs‘𝑋))
46 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4746cnmetdval 22621 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4822, 16, 47sylancl 695 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑋 − 0)))
4922subid1d 10419 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 − 0) = 𝑋)
5049fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(𝑋 − 0)) = (abs‘𝑋))
5148, 50eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑋))
52 elbl3 22244 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5315, 18, 52mpanl12 718 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5416, 22, 53sylancr 696 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝑋(abs ∘ − )0) < 1))
5521, 54mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (𝑋(abs ∘ − )0) < 1)
5651, 55eqbrtrrd 4709 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘𝑋) < 1)
5745, 56eqbrtrd 4707 . . . . 5 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → (abs‘(abs‘𝑋)) < 1)
5843, 57, 14geolim 14645 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))))
59 climrel 14267 . . . . 5 Rel ⇝
6059releldmi 5394 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ⇝ (1 / (1 − (abs‘𝑋))) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
6158, 60syl 17 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
62 1red 10093 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → 1 ∈ ℝ)
6337adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → seq0( + , 𝐴):ℕ0⟶ℂ)
64 eluznn0 11795 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
659, 64sylan 487 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6663, 65ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (seq0( + , 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
6765, 40syldan 486 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
6866, 67absmuld 14237 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))))
6922adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑋 ∈ ℂ)
7069, 65absexpd 14235 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝑋𝑖)) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
7170oveq2d 6706 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · (abs‘(𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7268, 71eqtrd 2685 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) = ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
7366abscld 14219 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ)
74 1red 10093 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
7565, 25syldan 486 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝑋)↑𝑖) ∈ ℝ)
7667absge0d 14227 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ (abs‘(𝑋𝑖)))
7776, 70breqtrd 4711 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ ((abs‘𝑋)↑𝑖))
78 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)
79 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑖 → (seq0( + , 𝐴)‘𝑚) = (seq0( + , 𝐴)‘𝑖))
8079fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑖 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) = (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)))
8180breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑖 → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ↔ (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1))
8281rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1 ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
8378, 82sylan 487 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1)
84 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
85 ltle 10164 . . . . . . . 8 (((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8673, 84, 85sylancl 695 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) < 1 → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1))
8783, 86mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) ≤ 1)
8873, 74, 75, 77, 87lemul1ad 11001 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑖)) · ((abs‘𝑋)↑𝑖)) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
8972, 88eqbrtrd 4707 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))) ≤ (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
9065, 32syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖) = ((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖)))
9190fveq2d 6233 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) = (abs‘((seq0( + , 𝐴)‘𝑖) · (𝑋𝑖))))
9265, 13syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖) = ((abs‘𝑋)↑𝑖))
9392oveq2d 6706 . . . 4 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)) = (1 · ((abs‘𝑋)↑𝑖)))
9489, 91, 933brtr4d 4717 . . 3 ((((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))‘𝑖)) ≤ (1 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝑋)↑𝑛))‘𝑖)))
951, 9, 26, 42, 61, 62, 94cvgcmpce 14594 . 2 (((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(seq0( + , 𝐴)‘𝑚)) < 1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
968, 95rexlimddv 3064 1 ((𝜑𝑋 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))1)) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((seq0( + , 𝐴)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕ0cn0 11330  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  abscabs 14018   ⇝ cli 14259  Σcsu 14460  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789 This theorem is referenced by:  abelthlem6  24235  abelthlem7  24237
 Copyright terms: Public domain W3C validator