MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcntzd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablcntzd 18460
Description: All subgroups in an abelian group commute. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcntzd.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
ablcntzd.a (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablcntzd.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
ablcntzd.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
ablcntzd (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))

Proof of Theorem ablcntzd
StepHypRef Expression
1 ablcntzd.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32subgss 17796 . . 3 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
5 ablcntzd.a . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
6 ablcmn 18399 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
8 ablcntzd.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
92subgss 17796 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
11 ablcntzd.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
122, 11cntzcmn 18445 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
137, 10, 12syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝑍𝑈) = (Base‘𝐺))
144, 13sseqtr4d 3783 1 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  Basecbs 16059  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948  CMndccmn 18393  Abelcabl 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396
This theorem is referenced by:  lsmsubg2  18462  ablfacrp2  18666  ablfac1b  18669  pgpfaclem1  18680  pgpfaclem2  18681  pj1lmhm  19302  pj1lmhm2  19303  lvecindp  19340  lvecindp2  19341  pjdm2  20257  pjf2  20260  pjfo  20261  lshpsmreu  34899  lshpkrlem5  34904
  Copyright terms: Public domain W3C validator