Theorem ablfac1a 18389

Description: The factors of ablfac1b 18390 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
ablfac1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → 𝑝 = 𝑃)
2		oveq1 6611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (#‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
3	1, 2	oveq12d 6622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
4	3	breq2d 4625	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) ↔ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
5	4	rabbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
6		ablfac1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
7		ablfac1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		fvex 6158	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2694	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	rabex 4773	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} ∈ V
11	5, 6, 10	fvmpt3i 6244	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))})
13	12	fveq2d 6152	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘(𝑆‘𝑃)) = (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}))
14		ablfac1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		eqid 2621	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}
16		eqid 2621	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))}
17		ablfac1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
19		ablfac1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
20		ablfac1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
21		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
22		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
23	7, 14, 6, 17, 19, 20, 21, 22	ablfac1lem 18388	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))) = 1 ∧ (#‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) · ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))))
24	23	simp1d 1071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ))
25	24	simpld 475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
26	24	simprd 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))) ∈ ℕ)
27	23	simp2d 1072	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))) = 1)
28	23	simp3d 1073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) · ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))))
29	7, 14, 15, 16, 18, 25, 26, 27, 28	ablfacrp2 18387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∧ (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))}) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))))
30	29	simpld 475	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
31	13, 30	eqtrd 2655	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (#‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881   · cmul 9885   / cdiv 10628  ℕcn 10964  ↑cexp 12800  #chash 13057   ∥ cdvds 14907   gcd cgcd 15140  ℙcprime 15309   pCnt cpc 15465  Basecbs 15781  odcod 17865  Abelcabl 18115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-od 17869  df-lsm 17972  df-pj1 17973  df-cmn 18116  df-abl 18117

This theorem is referenced by:  ablfac1c  18391  ablfac1eu  18393  ablfaclem3  18407