Theorem ablfac1a 18639

Description: The factors of ablfac1b 18640 are of prime power order. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablfac1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s	⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
ablfac1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)

Assertion

Ref	Expression
ablfac1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → 𝑝 = 𝑃)
2		oveq1 6808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 pCnt (♯‘𝐵)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
3	1, 2	oveq12d 6819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
4	3	breq2d 4804	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵))) ↔ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
5	4	rabbidv 3317	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
6		ablfac1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑝 ∈ 𝐴 ↦ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))})
7		ablfac1.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		fvex 6350	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2823	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9	rabex 4952	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (♯‘𝐵)))} ∈ V
11	5, 6, 10	fvmpt3i 6437	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
12	11	adantl 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑆‘𝑃) = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))})
13	12	fveq2d 6344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}))
14		ablfac1.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
15		eqid 2748	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}
16		eqid 2748	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}
17		ablfac1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
18	17	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ Abel)
19		ablfac1.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
20		ablfac1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℙ)
21		eqid 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))
22		eqid 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
23	7, 14, 6, 17, 19, 20, 21, 22	ablfac1lem 18638	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ) ∧ ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1 ∧ (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))))
24	23	simp1d 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ))
25	24	simpld 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∈ ℕ)
26	24	simprd 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) ∈ ℕ)
27	23	simp2d 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) gcd ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))) = 1)
28	23	simp3d 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘𝐵) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) · ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
29	7, 14, 15, 16, 18, 25, 26, 27, 28	ablfacrp2 18637	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))) ∧ (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))}) = ((♯‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))))
30	29	simpld 477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑂‘𝑥) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))}) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
31	13, 30	eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (♯‘(𝑆‘𝑃)) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  {crab 3042  Vcvv 3328   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  1c1 10100   · cmul 10104   / cdiv 10847  ℕcn 11183  ↑cexp 13025  ♯chash 13282   ∥ cdvds 15153   gcd cgcd 15389  ℙcprime 15558   pCnt cpc 15714  Basecbs 16030  odcod 18115  Abelcabl 18365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-disj 4761  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-ec 7901  df-qs 7905  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-prm 15559  df-pc 15715  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-eqg 17765  df-ga 17894  df-cntz 17921  df-od 18119  df-lsm 18222  df-pj1 18223  df-cmn 18366  df-abl 18367

This theorem is referenced by:  ablfac1c  18641  ablfac1eu  18643  ablfaclem3  18657