MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1eu 18393
Description: The factorization of ablfac1b 18390 is unique, in that any other factorization into prime power factors (even if the exponents are different) must be equal to 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1c.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)}
ablfac1.2 (𝜑𝐷𝐴)
ablfac1eu.1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
ablfac1eu.2 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
ablfac1eu.3 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
ablfac1eu.4 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
Assertion
Ref Expression
ablfac1eu (𝜑𝑇 = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑤,𝑥,𝐵   𝐷,𝑝,𝑞,𝑥   𝜑,𝑝,𝑞,𝑤,𝑥   𝑆,𝑞   𝐴,𝑝,𝑞,𝑥   𝑂,𝑝,𝑞,𝑥   𝑇,𝑞,𝑥   𝐺,𝑝,𝑞,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑞,𝑝)   𝐷(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑝)   𝑇(𝑤,𝑝)   𝐺(𝑤)   𝑂(𝑤)

Proof of Theorem ablfac1eu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfac1eu.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵))
21simpld 475 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
3 ablfac1eu.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑇 = 𝐴)
42, 3dprdf2 18327 . . 3 (𝜑𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
54ffnd 6003 . 2 (𝜑𝑇 Fn 𝐴)
6 ablfac1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfac1.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
8 ablfac1.s . . . . 5 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
9 ablfac1.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
10 ablfac1.f . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
11 ablfac1.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
126, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1b 18390 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
13 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
146, 13eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1514rabex 4773 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} ∈ V
1615, 8dmmpti 5980 . . . . 5 dom 𝑆 = 𝐴
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐴)
1812, 17dprdf2 18327 . . 3 (𝜑𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
1918ffnd 6003 . 2 (𝜑𝑆 Fn 𝐴)
2010adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
2118ffvelrnda 6315 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
226subgss 17516 . . . . 5 ((𝑆𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2321, 22syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ⊆ 𝐵)
2420, 23ssfid 8127 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) ∈ Fin)
254ffvelrnda 6315 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
266subgss 17516 . . . . . 6 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ 𝐵)
2825adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2920, 27ssfid 8127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
3029adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
31 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝑇𝑞))
327odsubdvds 17907 . . . . . . 7 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))
3328, 30, 31, 32syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))
34 ablfac1eu.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
3511sselda 3583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℙ)
36 prmz 15313 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℤ)
38 ablfac1eu.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
40 ablgrp 18119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
419, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
426grpbn0 17372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
44 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4510, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
4643, 45mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
4835, 47pccld 15479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
4948nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℤ)
506lagsubg 17577 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (#‘𝐵))
5125, 20, 50syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (#‘𝐵))
5234, 51eqbrtrrd 4637 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵))
5347nnzd 11425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
54 pcdvdsb 15497 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)))
5535, 53, 38, 54syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ↔ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)))
5652, 55mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)))
57 eluz2 11637 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≤ (𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
5839, 49, 56, 57syl3anbrc 1244 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶))
59 dvdsexp 14973 . . . . . . . . 9 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐶)) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6037, 38, 58, 59syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6134, 60eqbrtrd 4635 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6261adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
6327sselda 3583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → 𝑥𝐵)
646, 7odcl 17876 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
6665nn0zd 11424 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
67 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑞) ∈ Fin → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6829, 67syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0)
6968nn0zd 11424 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
7069adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ)
71 prmnn 15312 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
7235, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑞 ∈ ℕ)
7372, 48nnexpcld 12970 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
7473nnzd 11425 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ)
7574adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ)
76 dvdstr 14942 . . . . . . 7 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)) ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))))
7766, 70, 75, 76syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (((𝑂𝑥) ∥ (#‘(𝑇𝑞)) ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))))
7833, 62, 77mp2and 714 . . . . 5 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑇𝑞)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
7927, 78ssrabdv 3660 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
80 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞𝑝 = 𝑞)
81 oveq1 6611 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 pCnt (#‘𝐵)) = (𝑞 pCnt (#‘𝐵)))
8280, 81oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
8382breq2d 4625 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵))) ↔ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))))
8483rabbidv 3177 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
8584, 8, 15fvmpt3i 6244 . . . . 5 (𝑞𝐴 → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
8685adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑆𝑞) = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵)))})
8779, 86sseqtr4d 3621 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞))
8873nnnn0d 11295 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ0)
89 pcdvds 15492 . . . . . . . . . 10 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
9035, 47, 89syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
912adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd 𝑇)
923adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → dom 𝑇 = 𝐴)
93 ablfac1.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷𝐴)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷𝐴)
9591, 92, 94dprdres 18348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
9695simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
974adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
9897, 94fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
99 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
101 difssd 3716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∖ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
10296, 100, 101dprdres 18348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
103102simpld 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
104 dprdsubg 18344 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1066lagsubg 17577 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵))
107105, 20, 106syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵))
108 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g𝐺) = (0g𝐺)
109108subg0cl 17523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
110105, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
111 ne0i 3897 . . . . . . . . . . . . 13 ((0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅)
1136dprdssv 18336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
114 ssfi 8124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
11520, 113, 114sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin)
116 hashnncl 13097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ∈ Fin → ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ ↔ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))) ≠ ∅))
118112, 117mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℕ)
119118nnzd 11425 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ)
120 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞𝑥 = 𝑞)
121 sneq 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑞 → {𝑥} = {𝑞})
122121difeq2d 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑞 → (𝐷 ∖ {𝑥}) = (𝐷 ∖ {𝑞}))
123122reseq2d 5356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})) = ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))
124123oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))
125124fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑞 → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) = (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
126120, 125breq12d 4626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
127126notbid 308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑞 → (¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))) ↔ ¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
128 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))}) = (𝑝𝐷 ↦ {𝑦𝐵 ∣ (𝑂𝑦) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
1299adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
13010adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐵 ∈ Fin)
131 ablfac1c.d . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐷 = {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)}
132 ssrab2 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)} ⊆ ℙ
133131, 132eqsstri 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷 ⊆ ℙ
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ⊆ ℙ)
135 ssid 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐷𝐷
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷𝐷)
1372, 3, 93dprdres 18348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
138137simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
139 dprdsubg 18344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
141 difssd 3716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴)
1422, 3, 141dprdres 18348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑇)))
143142simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))
144 dprdsubg 18344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
146 difss 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴
147 fssres 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑇:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐴𝐷) ⊆ 𝐴) → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
1484, 146, 147sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺))
149 fdm 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷)):(𝐴𝐷)⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
150148, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → dom (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)) = (𝐴𝐷))
151 fvres 6164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
152151adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) = (𝑇𝑞))
153 eldif 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ (𝐴𝐷) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷))
15429adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ∈ Fin)
155108subg0cl 17523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑇𝑞) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
15625, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑞𝐴) → (0g𝐺) ∈ (𝑇𝑞))
157156snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑞𝐴) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
158157adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞))
15934adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
16035adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
161 iddvdsexp 14929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
16237, 161sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (𝑞𝐶))
16352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵))
16434, 69eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞𝐶) ∈ ℤ)
165 dvdstr 14942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞𝐶) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
16637, 164, 53, 165syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
167166adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → ((𝑞 ∥ (𝑞𝐶) ∧ (𝑞𝐶) ∥ (#‘𝐵)) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
168162, 163, 167mp2and 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞 ∥ (#‘𝐵))
169 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑤 = 𝑞 → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) ↔ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
170169, 131elrab2 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑞𝐷 ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∥ (#‘𝐵)))
171160, 168, 170sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝑞𝐷)
172171ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐶 ∈ ℕ → 𝑞𝐷))
173172con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞𝐷 → ¬ 𝐶 ∈ ℕ))
174173impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝐶 ∈ ℕ)
17538adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
176 elnn0 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐶 ∈ ℕ0 ↔ (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
177175, 176sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐶 ∈ ℕ ∨ 𝐶 = 0))
178177ord 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (¬ 𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 = 0))
179174, 178mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝐶 = 0)
180179oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞𝐶) = (𝑞↑0))
18172adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℕ)
182181nncnd 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → 𝑞 ∈ ℂ)
183182exp0d 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑞↑0) = 1)
184159, 180, 1833eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (#‘(𝑇𝑞)) = 1)
185 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0g𝐺) ∈ V
186 hashsng 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0g𝐺) ∈ V → (#‘{(0g𝐺)}) = 1)
187185, 186ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (#‘{(0g𝐺)}) = 1
188184, 187syl6reqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (#‘{(0g𝐺)}) = (#‘(𝑇𝑞)))
189 snfi 7982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {(0g𝐺)} ∈ Fin
190 hashen 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ∈ Fin) → ((#‘{(0g𝐺)}) = (#‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
191189, 154, 190sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((#‘{(0g𝐺)}) = (#‘(𝑇𝑞)) ↔ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)))
192188, 191mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞))
193 fisseneq 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ {(0g𝐺)} ⊆ (𝑇𝑞) ∧ {(0g𝐺)} ≈ (𝑇𝑞)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
194154, 158, 192, 193syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} = (𝑇𝑞))
195108subg0cl 17523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
196140, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
197196adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (0g𝐺) ∈ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
198197snssd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → {(0g𝐺)} ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
199194, 198eqsstr3d 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
200153, 199sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → (𝑇𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
201152, 200eqsstrd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞 ∈ (𝐴𝐷)) → ((𝑇 ↾ (𝐴𝐷))‘𝑞) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
202143, 150, 140, 201dprdlub 18346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
203 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
204203lsmss2 18002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 DProd (𝑇𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))) → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
205140, 145, 202, 204syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = (𝐺 DProd (𝑇𝐷)))
206 disjdif 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅
207206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐷 ∩ (𝐴𝐷)) = ∅)
208 undif2 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)) = (𝐷𝐴)
209 ssequn1 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐷𝐴 ↔ (𝐷𝐴) = 𝐴)
21093, 209sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐷𝐴) = 𝐴)
211208, 210syl5req 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 = (𝐷 ∪ (𝐴𝐷)))
2124, 207, 211, 203, 2dprdsplit 18368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))))
2131simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝐵)
214212, 213eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇𝐷))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ (𝐴𝐷)))) = 𝐵)
215205, 214eqtr3d 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
216138, 215jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
217216adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → (𝐺dom DProd (𝑇𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵))
2184, 93fssresd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑇𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
219218, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
220219adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
22193sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝑞𝐴)
222221, 38syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
223222adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐶 ∈ ℕ0)
224 fvres 6164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞𝐷 → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
225224adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
226225fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (#‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (#‘(𝑇𝑞)))
227221, 34syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐷) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞𝐶))
228226, 227eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐷) → (#‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
229228adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝐷) → (#‘((𝑇𝐷)‘𝑞)) = (𝑞𝐶))
230 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝑥 ∈ ℙ)
231 fzfid 12712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1...(#‘𝐵)) ∈ Fin)
232 prmnn 15312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℕ)
2332323ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑤 ∈ ℕ)
234 prmz 15313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 ∈ ℙ → 𝑤 ∈ ℤ)
235 dvdsle 14956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) → 𝑤 ≤ (#‘𝐵)))
236234, 46, 235syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ) → (𝑤 ∥ (#‘𝐵) → 𝑤 ≤ (#‘𝐵)))
2372363impia 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑤 ≤ (#‘𝐵))
23846nnzd 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
2392383ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
240 fznn 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (𝑤 ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (#‘𝐵))))
241239, 240syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → (𝑤 ∈ (1...(#‘𝐵)) ↔ (𝑤 ∈ ℕ ∧ 𝑤 ≤ (#‘𝐵))))
242233, 237, 241mpbir2and 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)) → 𝑤 ∈ (1...(#‘𝐵)))
243242rabssdv 3661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℙ ∣ 𝑤 ∥ (#‘𝐵)} ⊆ (1...(#‘𝐵)))
244131, 243syl5eqss 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ⊆ (1...(#‘𝐵)))
245231, 244ssfid 8127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
246245adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → 𝐷 ∈ Fin)
2476, 7, 128, 129, 130, 134, 131, 136, 217, 220, 223, 229, 230, 246ablfac1eulem 18392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℙ) → ¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
248247ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
249248adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℙ ¬ 𝑥 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑥})))))
250127, 249, 35rspcdva 3301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → ¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
251 coprm 15347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
25235, 119, 251syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 ∥ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ↔ (𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
253250, 252mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
254 rpexp1i 15357 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (𝑞 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
25537, 119, 48, 254syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞 gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1 → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1))
256253, 255mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1)
257 coprmdvds2 15292 . . . . . . . . . 10 ((((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℤ) ∧ ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) gcd (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = 1) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵) ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (#‘𝐵)))
25874, 119, 53, 256, 257syl31anc 1326 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵) ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∥ (#‘𝐵)) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (#‘𝐵)))
25990, 107, 258mp2and 714 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ (#‘𝐵))
260 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
261 inss1 3811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷
262261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐷 ∩ {𝑞}) ⊆ 𝐷)
26396, 100, 262dprdres 18348 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ (𝐺 DProd (𝑇𝐷))))
264263simpld 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))
265 dprdsubg 18344 . . . . . . . . . . 11 (𝐺dom DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
266264, 265syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
267 inass 3801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})))
268 disjdif 4012 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
269268ineq2i 3789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ({𝑞} ∩ (𝐷 ∖ {𝑞}))) = (𝐷 ∩ ∅)
270 in0 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∩ ∅) = ∅
271267, 269, 2703eqtri 2647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅
272271a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∩ (𝐷 ∖ {𝑞})) = ∅)
27396, 100, 262, 101, 272, 108dprddisj2 18359 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∩ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = {(0g𝐺)})
27496, 100, 262, 101, 272, 260dprdcntz2 18358 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
2756dprdssv 18336 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵
276 ssfi 8124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ⊆ 𝐵) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
27720, 275, 276sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) ∈ Fin)
278203, 108, 260, 266, 105, 273, 274, 277, 115lsmhash 18039 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
279 inundif 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})) = 𝐷
280279eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞}))
281280a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝐴) → 𝐷 = ((𝐷 ∩ {𝑞}) ∪ (𝐷 ∖ {𝑞})))
28298, 272, 281, 203, 96dprdsplit 18368 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))))
283215adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd (𝑇𝐷)) = 𝐵)
284282, 283eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) = 𝐵)
285284fveq2d 6152 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘((𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = (#‘𝐵))
286 snssi 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞𝐷 → {𝑞} ⊆ 𝐷)
287286adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → {𝑞} ⊆ 𝐷)
288 sseqin2 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑞} ⊆ 𝐷 ↔ (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
289287, 288sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = {𝑞})
290289reseq2d 5356 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞}))
291290oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})))
29296adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑇𝐷))
293219ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → dom (𝑇𝐷) = 𝐷)
294 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → 𝑞𝐷)
295292, 293, 294dpjlem 18371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ {𝑞})) = ((𝑇𝐷)‘𝑞))
296224adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → ((𝑇𝐷)‘𝑞) = (𝑇𝑞))
297291, 295, 2963eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
298 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ¬ 𝑞𝐷)
299 disjsn 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅ ↔ ¬ 𝑞𝐷)
300298, 299sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐷 ∩ {𝑞}) = ∅)
301300reseq2d 5356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ((𝑇𝐷) ↾ ∅))
302 res0 5360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝐷) ↾ ∅) = ∅
303301, 302syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})) = ∅)
304303oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝐺 DProd ∅))
305108dprd0 18351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ Grp → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
30641, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐺dom DProd ∅ ∧ (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)}))
307306simprd 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
308307adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ∅) = {(0g𝐺)})
309304, 308, 1943eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞𝐷)) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
310309anassrs 679 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐴) ∧ ¬ 𝑞𝐷) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
311297, 310pm2.61dan 831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞}))) = (𝑇𝑞))
312311fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) = (#‘(𝑇𝑞)))
313312oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝐴) → ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∩ {𝑞})))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) = ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
314278, 285, 3133eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘𝐵) = ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
315259, 314breqtrd 4639 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → ((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))))
316118nnne0d 11009 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)
317 dvdsmulcr 14935 . . . . . . . 8 (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℤ ∧ ((#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞})))) ≠ 0)) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞))))
31874, 69, 119, 316, 317syl112anc 1327 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐴) → (((𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ∥ ((#‘(𝑇𝑞)) · (#‘(𝐺 DProd ((𝑇𝐷) ↾ (𝐷 ∖ {𝑞}))))) ↔ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞))))
319315, 318mpbid 222 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))
320 dvdseq 14960 . . . . . 6 ((((#‘(𝑇𝑞)) ∈ ℕ0 ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ0) ∧ ((#‘(𝑇𝑞)) ∥ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∧ (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘(𝑇𝑞)))) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
32168, 88, 61, 319, 320syl22anc 1324 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
3226, 7, 8, 9, 10, 11ablfac1a 18389 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑆𝑞)) = (𝑞↑(𝑞 pCnt (#‘𝐵))))
323321, 322eqtr4d 2658 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → (#‘(𝑇𝑞)) = (#‘(𝑆𝑞)))
324 hashen 13075 . . . . 5 (((𝑇𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑆𝑞) ∈ Fin) → ((#‘(𝑇𝑞)) = (#‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
32529, 24, 324syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐴) → ((#‘(𝑇𝑞)) = (#‘(𝑆𝑞)) ↔ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)))
326323, 325mpbid 222 . . 3 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞))
327 fisseneq 8115 . . 3 (((𝑆𝑞) ∈ Fin ∧ (𝑇𝑞) ⊆ (𝑆𝑞) ∧ (𝑇𝑞) ≈ (𝑆𝑞)) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
32824, 87, 326, 327syl3anc 1323 . 2 ((𝜑𝑞𝐴) → (𝑇𝑞) = (𝑆𝑞))
3295, 19, 328eqfnfvd 6270 1 (𝜑𝑇 = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cen 7896  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cle 10019  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  #chash 13057  cdvds 14907   gcd cgcd 15140  cprime 15309   pCnt cpc 15465  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669  odcod 17865  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115   DProd cdprd 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-od 17869  df-lsm 17972  df-pj1 17973  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-dprd 18315
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator