MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1lem 18513
Description: Lemma for ablfac1b 18515. Satisfy the assumptions of ablfacrp. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1.m 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
ablfac1.n 𝑁 = ((#‘𝐵) / 𝑀)
Assertion
Ref Expression
ablfac1lem ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1lem
StepHypRef Expression
1 ablfac1.m . . . 4 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
2 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
32sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmnn 15435 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
6 ablfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18244 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 ablfac1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
98grpbn0 17498 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
106, 7, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 ablfac1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 hashnncl 13195 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1410, 13mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
163, 15pccld 15602 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
175, 16nnexpcld 13070 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
181, 17syl5eqel 2734 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ)
19 ablfac1.n . . . 4 𝑁 = ((#‘𝐵) / 𝑀)
20 pcdvds 15615 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
213, 15, 20syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
221, 21syl5eqbr 4720 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∥ (#‘𝐵))
23 nndivdvds 15036 . . . . . 6 (((#‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2415, 18, 23syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∥ (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2522, 24mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((#‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ)
2619, 25syl5eqel 2734 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
2718, 26jca 553 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
281oveq1i 6700 . . 3 (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁)
29 pcndvds2 15619 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
303, 15, 29syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
311oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) / 𝑀) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
3219, 31eqtri 2673 . . . . . . 7 𝑁 = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
3332breq2i 4693 . . . . . 6 (𝑃𝑁𝑃 ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
3430, 33sylnibr 318 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝑁)
3526nnzd 11519 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 coprm 15470 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
373, 35, 36syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
3834, 37mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝑁) = 1)
39 prmz 15436 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
403, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
41 rpexp1i 15480 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4240, 35, 16, 41syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4338, 42mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1)
4428, 43syl5eq 2697 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4519oveq2i 6701 . . 3 (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · ((#‘𝐵) / 𝑀))
4615nncnd 11074 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
4718nncnd 11074 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℂ)
4818nnne0d 11103 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ≠ 0)
4946, 47, 48divcan2d 10841 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 · ((#‘𝐵) / 𝑀)) = (#‘𝐵))
5045, 49syl5req 2698 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
5127, 44, 503jca 1261 1 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cexp 12900  #chash 13157  cdvds 15027   gcd cgcd 15263  cprime 15432   pCnt cpc 15588  Basecbs 15904  Grpcgrp 17469  odcod 17990  Abelcabl 18240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-abl 18242
This theorem is referenced by:  ablfac1a  18514  ablfac1b  18515
  Copyright terms: Public domain W3C validator