MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfac1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfac1lem 18383
Description: Lemma for ablfac1b 18385. Satisfy the assumptions of ablfacrp. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfac1.s 𝑆 = (𝑝𝐴 ↦ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ (𝑝↑(𝑝 pCnt (#‘𝐵)))})
ablfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfac1.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
ablfac1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
ablfac1.m 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
ablfac1.n 𝑁 = ((#‘𝐵) / 𝑀)
Assertion
Ref Expression
ablfac1lem ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝐵   𝜑,𝑝,𝑥   𝐴,𝑝,𝑥   𝑂,𝑝,𝑥   𝑃,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑝)   𝑀(𝑥,𝑝)   𝑁(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem ablfac1lem
StepHypRef Expression
1 ablfac1.m . . . 4 𝑀 = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))
2 ablfac1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℙ)
32sselda 3588 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
4 prmnn 15307 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
6 ablfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18114 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
8 ablfac1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
98grpbn0 17367 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
106, 7, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 ablfac1.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 hashnncl 13094 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Fin → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1410, 13mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
163, 15pccld 15474 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0)
175, 16nnexpcld 12967 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∈ ℕ)
181, 17syl5eqel 2708 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ)
19 ablfac1.n . . . 4 𝑁 = ((#‘𝐵) / 𝑀)
20 pcdvds 15487 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
213, 15, 20syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) ∥ (#‘𝐵))
221, 21syl5eqbr 4653 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∥ (#‘𝐵))
23 nndivdvds 14908 . . . . . 6 (((#‘𝐵) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2415, 18, 23syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∥ (#‘𝐵) ↔ ((#‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ))
2522, 24mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((#‘𝐵) / 𝑀) ∈ ℕ)
2619, 25syl5eqel 2708 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
2718, 26jca 554 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
281oveq1i 6615 . . 3 (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁)
29 pcndvds2 15491 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ) → ¬ 𝑃 ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
303, 15, 29syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
311oveq2i 6616 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) / 𝑀) = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
3219, 31eqtri 2648 . . . . . . 7 𝑁 = ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))))
3332breq2i 4626 . . . . . 6 (𝑃𝑁𝑃 ∥ ((#‘𝐵) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵)))))
3430, 33sylnibr 319 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → ¬ 𝑃𝑁)
3526nnzd 11425 . . . . . 6 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
36 coprm 15342 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
373, 35, 36syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
3834, 37mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑃 gcd 𝑁) = 1)
39 prmz 15308 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
403, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
41 rpexp1i 15352 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (#‘𝐵)) ∈ ℕ0) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4240, 35, 16, 41syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1))
4338, 42mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝐵))) gcd 𝑁) = 1)
4428, 43syl5eq 2672 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
4519oveq2i 6616 . . 3 (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · ((#‘𝐵) / 𝑀))
4615nncnd 10981 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) ∈ ℂ)
4718nncnd 10981 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ∈ ℂ)
4818nnne0d 11010 . . . 4 ((𝜑𝑃𝐴) → 𝑀 ≠ 0)
4946, 47, 48divcan2d 10748 . . 3 ((𝜑𝑃𝐴) → (𝑀 · ((#‘𝐵) / 𝑀)) = (#‘𝐵))
5045, 49syl5req 2673 . 2 ((𝜑𝑃𝐴) → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
5127, 44, 503jca 1240 1 ((𝜑𝑃𝐴) → ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = 1 ∧ (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  {crab 2916  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  1c1 9882   · cmul 9886   / cdiv 10629  cn 10965  0cn0 11237  cz 11322  cexp 12797  #chash 13054  cdvds 14902   gcd cgcd 15135  cprime 15304   pCnt cpc 15460  Basecbs 15776  Grpcgrp 17338  odcod 17860  Abelcabl 18110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305  df-pc 15461  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-abl 18112
This theorem is referenced by:  ablfac1a  18384  ablfac1b  18385
  Copyright terms: Public domain W3C validator