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Theorem ablfacrp 18234
Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups 𝐾, 𝐿 that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
ablfacrp.z 0 = (0g𝐺)
ablfacrp.s = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablfacrp (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   (𝑥)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
2 ablfacrp.l . . . . . 6 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
31, 2ineq12i 3773 . . . . 5 (𝐾𝐿) = ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁})
4 inrab 3857 . . . . 5 ({𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∩ {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
53, 4eqtri 2631 . . . 4 (𝐾𝐿) = {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)}
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14 𝑂 = (od‘𝐺)
86, 7odcl 17724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐵 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
98adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
109nn0zd 11312 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1211nnzd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑀 ∈ ℤ)
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnzd 11313 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
17 dvdsgcd 15045 . . . . . . . . . . 11 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1810, 13, 16, 17syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
19183impia 1252 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
21203ad2ant1 1074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
2219, 21breqtrd 4603 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) ∥ 1)
23 simp2 1054 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥𝐵)
24 dvds1 14825 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝑥) ∈ ℕ0 → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2523, 8, 243syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) ∥ 1 ↔ (𝑂𝑥) = 1))
2622, 25mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → (𝑂𝑥) = 1)
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
28 ablgrp 17967 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
30293ad2ant1 1074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝐺 ∈ Grp)
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
327, 31, 6odeq1 17746 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3330, 23, 32syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → ((𝑂𝑥) = 1 ↔ 𝑥 = 0 ))
3426, 33mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 = 0 )
35 velsn 4140 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
3634, 35sylibr 222 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)) → 𝑥 ∈ { 0 })
3736rabssdv 3644 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ∧ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁)} ⊆ { 0 })
385, 37syl5eqss 3611 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝐿) ⊆ { 0 })
397, 6oddvdssubg 18027 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4027, 12, 39syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
411, 40syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4231subg0cl 17371 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐾)
4341, 42syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐾)
447, 6oddvdssubg 18027 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4527, 15, 44syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
462, 45syl5eqel 2691 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4731subg0cl 17371 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝐿)
4846, 47syl 17 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
4943, 48elind 3759 . . . 4 (𝜑0 ∈ (𝐾𝐿))
5049snssd 4280 . . 3 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾𝐿))
5138, 50eqssd 3584 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐿) = { 0 })
52 ablfacrp.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝐺)
5352lsmsubg2 18031 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5427, 41, 46, 53syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺))
556subgss 17364 . . . 4 ((𝐾 𝐿) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
5654, 55syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐿) ⊆ 𝐵)
57 eqid 2609 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
586, 57mulg1 17317 . . . . . . 7 (𝑔𝐵 → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
5958adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) = 𝑔)
60 bezout 15044 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6112, 15, 60syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6261adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐵) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)))
6320ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
6463eqeq1d 2611 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) ↔ 1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))))
6512ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
66 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
6765, 66zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ)
6867zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑎) ∈ ℂ)
6915ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
7169, 70zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ)
7271zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑏) ∈ ℂ)
7368, 72addcomd 10089 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) = ((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎)))
7473oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔))
7529ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
76 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑔𝐵)
77 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
786, 57, 77mulgdir 17342 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
7975, 71, 67, 76, 78syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏) + (𝑀 · 𝑎))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8074, 79eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) = (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
8141ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8246ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
836, 57mulgcl 17328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
8475, 71, 76, 83syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
85 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
8611, 14nnmulcld 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
8786nnnn0d 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8885, 87eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
89 fvex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝐺) ∈ V
906, 89eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐵 ∈ V
91 hashclb 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
9388, 92sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9493ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ Fin)
956, 7oddvds2 17752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑔𝐵) → (𝑂𝑔) ∥ (#‘𝐵))
9675, 94, 76, 95syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (#‘𝐵))
9785ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
9896, 97breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁))
996, 7odcl 17724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔𝐵 → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
10099ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ0)
101100nn0zd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∈ ℤ)
10265, 69zmulcld 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
103 dvdsmultr1 14803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑂𝑔) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏)))
104101, 102, 70, 103syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏)))
10598, 104mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏))
10665zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
10769zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
10870zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
109106, 107, 108mulassd 9919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑏) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
110105, 109breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏)))
1116, 7, 57odmulgid 17740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑏) ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
11275, 76, 71, 65, 111syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · (𝑁 · 𝑏))))
113110, 112mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀)
114 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)))
115114breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
116115, 1elrab2 3332 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ↔ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑀))
11784, 113, 116sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾)
1186, 57mulgcl 17328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ ∧ 𝑔𝐵) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
11975, 67, 76, 118syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵)
120 dvdsmultr1 14803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑂𝑔) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎)))
121101, 102, 66, 120syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝑔) ∥ (𝑀 · 𝑁) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎)))
12298, 121mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎))
123 zcn 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
124123ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
125 mulass 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)))
126 mul12 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑁 · 𝑎)) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
127125, 126eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
128106, 107, 124, 127syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑎) = (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
129122, 128breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎)))
1306, 7, 57odmulgid 17740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑎) ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
13175, 76, 67, 69, 130syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂𝑔) ∥ (𝑁 · (𝑀 · 𝑎))))
132129, 131mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁)
133 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)))
134133breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑁 ↔ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
135134, 2elrab2 3332 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿 ↔ (((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐵 ∧ (𝑂‘((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∥ 𝑁))
136119, 132, 135sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)
13777, 52lsmelvali 17834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐾 ∧ ((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔) ∈ 𝐿)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13881, 82, 117, 136, 137syl22anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑁 · 𝑏)(.g𝐺)𝑔)(+g𝐺)((𝑀 · 𝑎)(.g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐾 𝐿))
13980, 138eqeltrd 2687 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
140 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) = (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔))
141140eleq1d 2671 . . . . . . . . . 10 (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → ((1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿) ↔ (((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏))(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
142139, 141syl5ibrcom 235 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (1 = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14364, 142sylbid 228 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔𝐵) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
144143rexlimdvva 3019 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐵) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑎) + (𝑁 · 𝑏)) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿)))
14562, 144mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐵) → (1(.g𝐺)𝑔) ∈ (𝐾 𝐿))
14659, 145eqeltrrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (𝐾 𝐿))
147146ex 448 . . . 4 (𝜑 → (𝑔𝐵𝑔 ∈ (𝐾 𝐿)))
148147ssrdv 3573 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐾 𝐿))
14956, 148eqssd 3584 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐿) = 𝐵)
15051, 149jca 552 1 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = { 0 } ∧ (𝐾 𝐿) = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  cin 3538  wss 3539  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  #chash 12934  cdvds 14767   gcd cgcd 15000  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  0gc0g 15869  Grpcgrp 17191  .gcmg 17309  SubGrpcsubg 17357  odcod 17713  LSSumclsm 17818  Abelcabl 17963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-eqg 17362  df-cntz 17519  df-od 17717  df-lsm 17820  df-cmn 17964  df-abl 17965
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18235  ablfac1b  18238
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