MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 18666
Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18665 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11543 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11543 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 11548 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 fvex 6362 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
108, 9eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
11 hashclb 13341 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
137, 12sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
14 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
15 ssrab2 3828 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
1614, 15eqsstri 3776 . . . . 5 𝐾𝐵
17 ssfi 8345 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1813, 16, 17sylancl 697 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
19 hashcl 13339 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ0)
21 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
222nnzd 11673 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2423, 8oddvdssubg 18458 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2521, 22, 24syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2614, 25syl5eqel 2843 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
278lagsubg 17857 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
2826, 13, 27syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝐵))
292nncnd 11228 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
304nncnd 11228 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30mulcomd 10253 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
321, 31eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3328, 32breqtrd 4830 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
34 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
35 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
368, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1ablfacrplem 18664 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3720nn0zd 11672 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
384nnzd 11673 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
39 coprmdvds 15568 . . . . 5 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
4037, 38, 22, 39syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((♯‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀))
4133, 36, 40mp2and 717 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ 𝑀)
4223, 8oddvdssubg 18458 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4321, 38, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4434, 43syl5eqel 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
458lagsubg 17857 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4644, 13, 45syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (♯‘𝐵))
4746, 1breqtrd 4830 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
48 gcdcom 15437 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4922, 38, 48syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
5049, 35eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
518, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32ablfacrplem 18664 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
52 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
5334, 52eqsstri 3776 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
54 ssfi 8345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5513, 53, 54sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
56 hashcl 13339 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11672 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℤ)
59 coprmdvds 15568 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
6058, 22, 38, 59syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (((♯‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((♯‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁))
6147, 51, 60mp2and 717 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∥ 𝑁)
62 dvdscmul 15210 . . . . . . 7 (((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6358, 38, 22, 62syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6461, 63mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
66 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
678, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66ablfacrp 18665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6867simprd 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6968fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (♯‘𝐵))
70 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7167simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
7270, 21, 26, 44ablcntzd 18460 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
7366, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55lsmhash 18318 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7469, 73eqtr3d 2796 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7574, 1eqtr3d 2796 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7664, 75breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
7765subg0cl 17803 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
78 ne0i 4064 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7944, 77, 783syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
80 hashnncl 13349 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8155, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8279, 81mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐿) ∈ ℕ)
8382nnne0d 11257 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐿) ≠ 0)
84 dvdsmulcr 15213 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8522, 37, 58, 83, 84syl112anc 1481 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (♯‘𝐿)) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (♯‘𝐾)))
8676, 85mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (♯‘𝐾))
87 dvdseq 15238 . . 3 ((((♯‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (♯‘𝐾))) → (♯‘𝐾) = 𝑀)
8820, 3, 41, 86, 87syl22anc 1478 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = 𝑀)
89 dvdsmulc 15211 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9037, 22, 38, 89syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9141, 90mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9291, 75breqtrrd 4832 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)))
9388, 2eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
9493nnne0d 11257 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
95 dvdscmulr 15212 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9638, 58, 37, 94, 95syl112anc 1481 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((♯‘𝐾) · (♯‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (♯‘𝐿)))
9792, 96mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (♯‘𝐿))
98 dvdseq 15238 . . 3 ((((♯‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((♯‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (♯‘𝐿))) → (♯‘𝐿) = 𝑁)
9957, 5, 61, 97, 98syl22anc 1478 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐿) = 𝑁)
10088, 99jca 555 1 (𝜑 → ((♯‘𝐾) = 𝑀 ∧ (♯‘𝐿) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  chash 13311  cdvds 15182   gcd cgcd 15418  Basecbs 16059  0gc0g 16302  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948  odcod 18144  LSSumclsm 18249  Abelcabl 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923  df-cntz 17950  df-od 18148  df-lsm 18251  df-pj1 18252  df-cmn 18395  df-abl 18396
This theorem is referenced by:  ablfac1a  18668
  Copyright terms: Public domain W3C validator