MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrp2 18387
Description: The factors 𝐾, 𝐿 of ablfacrp 18386 have the expected orders (which allows for repeated application to decompose 𝐺 into subgroups of prime-power order). Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrp2 (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrp2
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
2 ablfacrp.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11295 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
4 ablfacrp.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11295 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5nn0mulcld 11300 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
71, 6eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
8 ablfacrp.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
9 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
108, 9eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
11 hashclb 13089 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
137, 12sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
14 ablfacrp.k . . . . . 6 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
15 ssrab2 3666 . . . . . 6 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
1614, 15eqsstri 3614 . . . . 5 𝐾𝐵
17 ssfi 8124 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
1813, 16, 17sylancl 693 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
19 hashcl 13087 . . . 4 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
21 ablfacrp.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
222nnzd 11425 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 ablfacrp.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
2423, 8oddvdssubg 18179 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2521, 22, 24syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
2614, 25syl5eqel 2702 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
278lagsubg 17577 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
2826, 13, 27syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝐵))
292nncnd 10980 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
304nncnd 10980 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30mulcomd 10005 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
321, 31eqtrd 2655 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑁 · 𝑀))
3328, 32breqtrd 4639 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀))
34 ablfacrp.l . . . . 5 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
35 ablfacrp.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
368, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1ablfacrplem 18385 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
3720nn0zd 11424 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
384nnzd 11425 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
39 coprmdvds 15290 . . . . 5 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
4037, 38, 22, 39syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (((#‘𝐾) ∥ (𝑁 · 𝑀) ∧ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1) → (#‘𝐾) ∥ 𝑀))
4133, 36, 40mp2and 714 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ 𝑀)
4223, 8oddvdssubg 18179 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4321, 38, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ∈ (SubGrp‘𝐺))
4434, 43syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺))
458lagsubg 17577 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
4644, 13, 45syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (#‘𝐵))
4746, 1breqtrd 4639 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁))
48 gcdcom 15159 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
4922, 38, 48syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑀))
5049, 35eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑀) = 1)
518, 23, 34, 14, 21, 4, 2, 50, 32ablfacrplem 18385 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1)
52 ssrab2 3666 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁} ⊆ 𝐵
5334, 52eqsstri 3614 . . . . . . . . . . 11 𝐿𝐵
54 ssfi 8124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐿𝐵) → 𝐿 ∈ Fin)
5513, 53, 54sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ Fin)
56 hashcl 13087 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ Fin → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ0)
5857nn0zd 11424 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℤ)
59 coprmdvds 15290 . . . . . . . 8 (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
6058, 22, 38, 59syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (((#‘𝐿) ∥ (𝑀 · 𝑁) ∧ ((#‘𝐿) gcd 𝑀) = 1) → (#‘𝐿) ∥ 𝑁))
6147, 51, 60mp2and 714 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐿) ∥ 𝑁)
62 dvdscmul 14932 . . . . . . 7 (((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6358, 38, 22, 62syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐿) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
6461, 63mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
65 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g𝐺) = (0g𝐺)
66 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
678, 23, 14, 34, 21, 2, 4, 35, 1, 65, 66ablfacrp 18386 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾𝐿) = {(0g𝐺)} ∧ (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵))
6867simprd 479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿) = 𝐵)
6968fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = (#‘𝐵))
70 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
7167simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐿) = {(0g𝐺)})
7270, 21, 26, 44ablcntzd 18181 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘𝐿))
7366, 65, 70, 26, 44, 71, 72, 18, 55lsmhash 18039 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝐾(LSSum‘𝐺)𝐿)) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
7469, 73eqtr3d 2657 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) = ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
7574, 1eqtr3d 2657 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) = (𝑀 · 𝑁))
7664, 75breqtrrd 4641 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
7765subg0cl 17523 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐿)
78 ne0i 3897 . . . . . . . 8 ((0g𝐺) ∈ 𝐿𝐿 ≠ ∅)
7944, 77, 783syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ≠ ∅)
80 hashnncl 13097 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ Fin → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8155, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝐿) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ≠ ∅))
8279, 81mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐿) ∈ ℕ)
8382nnne0d 11009 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐿) ≠ 0)
84 dvdsmulcr 14935 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ≠ 0)) → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
8522, 37, 58, 83, 84syl112anc 1327 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · (#‘𝐿)) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑀 ∥ (#‘𝐾)))
8676, 85mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑀 ∥ (#‘𝐾))
87 dvdseq 14960 . . 3 ((((#‘𝐾) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐾) ∥ 𝑀𝑀 ∥ (#‘𝐾))) → (#‘𝐾) = 𝑀)
8820, 3, 41, 86, 87syl22anc 1324 . 2 (𝜑 → (#‘𝐾) = 𝑀)
89 dvdsmulc 14933 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9037, 22, 38, 89syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ 𝑀 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
9141, 90mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
9291, 75breqtrrd 4641 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)))
9388, 2eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
9493nnne0d 11009 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
95 dvdscmulr 14934 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐿) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
9638, 58, 37, 94, 95syl112anc 1327 . . . 4 (𝜑 → (((#‘𝐾) · 𝑁) ∥ ((#‘𝐾) · (#‘𝐿)) ↔ 𝑁 ∥ (#‘𝐿)))
9792, 96mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑁 ∥ (#‘𝐿))
98 dvdseq 14960 . . 3 ((((#‘𝐿) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝐿) ∥ 𝑁𝑁 ∥ (#‘𝐿))) → (#‘𝐿) = 𝑁)
9957, 5, 61, 97, 98syl22anc 1324 . 2 (𝜑 → (#‘𝐿) = 𝑁)
10088, 99jca 554 1 (𝜑 → ((#‘𝐾) = 𝑀 ∧ (#‘𝐿) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  #chash 13057  cdvds 14907   gcd cgcd 15140  Basecbs 15781  0gc0g 16021  SubGrpcsubg 17509  Cntzccntz 17669  odcod 17865  LSSumclsm 17970  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-pc 15466  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ga 17644  df-cntz 17671  df-od 17869  df-lsm 17972  df-pj1 17973  df-cmn 18116  df-abl 18117
This theorem is referenced by:  ablfac1a  18389
  Copyright terms: Public domain W3C validator