MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 18198
Description: Lemma for ablfacrp2 18200. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 15136 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
21adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
54breq2d 4493 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
62, 5mtbird 313 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
1311, 12oddvdssubg 17992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
148, 10, 13syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
157, 14syl5eqel 2596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1615ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2514 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1817subggrp 17316 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
2017subgbas 17317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
239nnnn0d 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2623, 25nn0mulcld 11109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26eqeltrd 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
28 fvex 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) ∈ V
2912, 28eqeltri 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 ∈ V
30 hashclb 12872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3227, 31sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
33 ssrab2 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
347, 33eqsstri 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾𝐵
35 ssfi 7939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
3632, 34, 35sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
3736ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
3821, 37eqeltrrd 2593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
39 simplr 787 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘𝐾))
4121fveq2d 5990 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (#‘𝐾) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
4240, 41breqtrd 4507 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
43 eqid 2514 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
44 eqid 2514 . . . . . . . . . . . 12 (od‘(𝐺s 𝐾)) = (od‘(𝐺s 𝐾))
4543, 44odcau 17754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4619, 38, 39, 42, 45syl31anc 1320 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4721rexeqdv 3026 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
4846, 47mpbird 245 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4917, 11, 44subgod 17717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
5016, 49sylan 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
51 fveq2 5986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑔 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑔))
5251breq1d 4491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5352, 7elrab2 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐾 ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5453simprbi 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐾 → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5650, 55eqbrtrrd 4505 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
57 breq1 4484 . . . . . . . . . . 11 (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀𝑝𝑀))
5856, 57syl5ibcom 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5958rexlimdva 2917 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
6048, 59mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝𝑀)
6160ex 448 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (#‘𝐾) → 𝑝𝑀))
6261anim1d 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝𝑀𝑝𝑁)))
63 prmz 15107 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6463adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
65 hashcl 12870 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6636, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6766nn0zd 11218 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6867adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6924nnzd 11219 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7069adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
71 dvdsgcdb 14971 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7264, 68, 70, 71syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7310adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
74 dvdsgcdb 14971 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7564, 73, 70, 74syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7662, 72, 753imtr3d 280 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
776, 76mtod 187 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
7877nrexdv 2888 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
79 exprmfct 15134 . . 3 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
8078, 79nsyl 133 . 2 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
8124nnne0d 10818 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
82 simpr 475 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8382necon3ai 2711 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8481, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
85 gcdn0cl 14930 . . . . 5 ((((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8667, 69, 84, 85syl21anc 1316 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
87 elnn1uz2 11501 . . . 4 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8886, 87sylib 206 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8988ord 390 . 2 (𝜑 → (¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
9080, 89mt3d 138 1 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wrex 2801  {crab 2804  Vcvv 3077  wss 3444   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  Fincfn 7715  0cc0 9689  1c1 9690   · cmul 9694  cn 10773  2c2 10823  0cn0 11045  cz 11116  cuz 11423  #chash 12843  cdvds 14685   gcd cgcd 14922  cprime 15103  Basecbs 15583  s cress 15584  Grpcgrp 17141  SubGrpcsubg 17307  odcod 17663  Abelcabl 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-disj 4452  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-omul 7326  df-er 7503  df-ec 7505  df-qs 7509  df-map 7620  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-sup 8105  df-inf 8106  df-oi 8172  df-card 8522  df-acn 8525  df-cda 8747  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-q 11527  df-rp 11571  df-fz 12062  df-fzo 12199  df-fl 12319  df-mod 12395  df-seq 12528  df-exp 12587  df-fac 12787  df-bc 12816  df-hash 12844  df-cj 13541  df-re 13542  df-im 13543  df-sqrt 13677  df-abs 13678  df-clim 13928  df-sum 14129  df-dvds 14686  df-gcd 14923  df-prm 15104  df-pc 15268  df-ndx 15586  df-slot 15587  df-base 15588  df-sets 15589  df-ress 15590  df-plusg 15669  df-0g 15813  df-mgm 16961  df-sgrp 17003  df-mnd 17014  df-submnd 17055  df-grp 17144  df-minusg 17145  df-sbg 17146  df-mulg 17260  df-subg 17310  df-eqg 17312  df-ga 17442  df-od 17670  df-cmn 17930  df-abl 17931
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18200
  Copyright terms: Public domain W3C validator