MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 18404
Description: Lemma for ablfacrp2 18406. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 15361 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
21adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
43adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
54breq2d 4635 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
62, 5mtbird 315 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
1311, 12oddvdssubg 18198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
148, 10, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
157, 14syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1615ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1817subggrp 17537 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
2017subgbas 17538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
239nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2623, 25nn0mulcld 11316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
28 fvex 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) ∈ V
2912, 28eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 ∈ V
30 hashclb 13105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3227, 31sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
33 ssrab2 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
347, 33eqsstri 3620 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾𝐵
35 ssfi 8140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
3632, 34, 35sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
3736ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
3821, 37eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
39 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘𝐾))
4121fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (#‘𝐾) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
4240, 41breqtrd 4649 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
43 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
44 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (od‘(𝐺s 𝐾)) = (od‘(𝐺s 𝐾))
4543, 44odcau 17959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4619, 38, 39, 42, 45syl31anc 1326 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4721rexeqdv 3138 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
4846, 47mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4917, 11, 44subgod 17925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
5016, 49sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
51 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑔 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑔))
5251breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5352, 7elrab2 3353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐾 ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5453simprbi 480 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐾 → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5650, 55eqbrtrrd 4647 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
57 breq1 4626 . . . . . . . . . . 11 (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀𝑝𝑀))
5856, 57syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5958rexlimdva 3026 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
6048, 59mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝𝑀)
6160ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (#‘𝐾) → 𝑝𝑀))
6261anim1d 587 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝𝑀𝑝𝑁)))
63 prmz 15332 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6463adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
65 hashcl 13103 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6636, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6766nn0zd 11440 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6867adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6924nnzd 11441 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7069adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
71 dvdsgcdb 15205 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7264, 68, 70, 71syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7310adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
74 dvdsgcdb 15205 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7564, 73, 70, 74syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7662, 72, 753imtr3d 282 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
776, 76mtod 189 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
7877nrexdv 2997 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
79 exprmfct 15359 . . 3 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
8078, 79nsyl 135 . 2 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
8124nnne0d 11025 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
82 simpr 477 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8382necon3ai 2815 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8481, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
85 gcdn0cl 15167 . . . . 5 ((((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8667, 69, 84, 85syl21anc 1322 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
87 elnn1uz2 11725 . . . 4 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8886, 87sylib 208 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8988ord 392 . 2 (𝜑 → (¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
9080, 89mt3d 140 1 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2909  {crab 2912  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  0cc0 9896  1c1 9897   · cmul 9901  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  #chash 13073  cdvds 14926   gcd cgcd 15159  cprime 15328  Basecbs 15800  s cress 15801  Grpcgrp 17362  SubGrpcsubg 17528  odcod 17884  Abelcabl 18134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-ec 7704  df-qs 7708  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-pc 15485  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-eqg 17533  df-ga 17663  df-od 17888  df-cmn 18135  df-abl 18136
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18406
  Copyright terms: Public domain W3C validator