Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablpncan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablpncan2 18142
 Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
ablpncan2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem ablpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
2 simp2 1060 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
3 simp3 1061 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
4 ablsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
6 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
74, 5, 6abladdsub 18141 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = ((𝑋 𝑋) + 𝑌))
81, 2, 3, 2, 7syl13anc 1325 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = ((𝑋 𝑋) + 𝑌))
9 ablgrp 18119 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
101, 9syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
11 eqid 2621 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
124, 11, 6grpsubid 17420 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐺))
1310, 2, 12syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑋) = (0g𝐺))
1413oveq1d 6619 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑋) + 𝑌) = ((0g𝐺) + 𝑌))
154, 5, 11grplid 17373 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
1610, 3, 15syl2anc 692 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((0g𝐺) + 𝑌) = 𝑌)
178, 14, 163eqtrd 2659 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 + 𝑌) 𝑋) = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  -gcsg 17345  Abelcabl 18115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-cmn 18116  df-abl 18117 This theorem is referenced by:  lssvancl1  18864  lspprabs  19014  lsmcv  19060  ngpocelbl  22418  ttgcontlem1  25665
 Copyright terms: Public domain W3C validator