MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs0 14633
Description: The absolute value of 0. (Contributed by NM, 26-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
abs0 (abs‘0) = 0

Proof of Theorem abs0
StepHypRef Expression
1 0cn 10621 . . 3 0 ∈ ℂ
2 absval 14585 . . 3 (0 ∈ ℂ → (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (abs‘0) = (√‘(0 · (∗‘0)))
41cjcli 14516 . . . 4 (∗‘0) ∈ ℂ
54mul02i 10817 . . 3 (0 · (∗‘0)) = 0
65fveq2i 6666 . 2 (√‘(0 · (∗‘0))) = (√‘0)
7 sqrt0 14589 . 2 (√‘0) = 0
83, 6, 73eqtri 2845 1 (abs‘0) = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530  ccj 14443  csqrt 14580  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  abs00  14637  abs1m  14683  climconst  14888  rlimconst  14889  fsumabs  15144  georeclim  15216  geoisumr  15222  dvdsabseq  15651  gcd0id  15855  lcmid  15941  4sqlem19  16287  absabv  20530  gzrngunit  20539  zringunit  20563  aannenlem2  24845  aalioulem3  24850  tanabsge  25019  sinkpi  25034  sineq0  25036  isosctrlem2  25324  lgamgulmlem1  25533  ftalem3  25579  mule1  25652  zabsle1  25799  lgslem2  25801  lgsfcl2  25806  bcsiALT  28883  0cnfn  29684  nmfn0  29691  nmophmi  29735  nmcfnexi  29755  dnizeq0  33711  unbdqndv2lem2  33746  mblfinlem2  34811  ftc1anclem7  34854  ftc1anclem8  34855  ftc1anc  34856  dvgrat  40521  radcnvrat  40523  sineq0ALT  41148  constlimc  41781  0cnv  41899
  Copyright terms: Public domain W3C validator