Theorem abs2dif 14116

Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2dif	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem abs2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 10339	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2	1	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
3		subid1 10339	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
4	3	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
5	2, 4	oveqan12d 6709	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) = ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)))
6		0cn 10070	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		abs3dif 14115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
8	6, 7	mp3an2 1452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
9		subcl 10318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
10	6, 9	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
11		abscl 14062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
13		subcl 10318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
14	6, 13	mpan2 707	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
15		abscl 14062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
17	12, 16	anim12i 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ))
18		subcl 10318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
19		abscl 14062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
21		df-3an 1056	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) ↔ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ))
22	17, 20, 21	sylanbrc 699	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ))
23		lesubadd 10538	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
25	8, 24	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
26	5, 25	eqbrtrrd 4709	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   ≤ cle 10113   − cmin 10304  abscabs 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020

This theorem is referenced by:  abs2difabs  14118  absrdbnd  14125  caubnd2  14141  abs2difd  14240  abelthlem2  24231  logfacbnd3  24993  log2sumbnd  25278  abs2difi  31702