MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefib 14716
Description: A number is real iff its imaginary exponential has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 14609 . . . . 5 (exp‘0) = 1
21eqeq2i 2621 . . . 4 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1)
3 imcl 13648 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
43renegcld 10309 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5 0re 9897 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6 reef11 14637 . . . . 5 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
74, 5, 6sylancl 692 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
82, 7syl5bbr 272 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
93recnd 9925 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
109negeq0d 10236 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
118, 10bitr4d 269 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12 ax-icn 9852 . . . . . 6 i ∈ ℂ
13 mulcl 9877 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 701 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15 absef 14715 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
17 replim 13653 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
18 recl 13647 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1918recnd 9925 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
20 mulcl 9877 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
2112, 9, 20sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
2219, 21addcomd 10090 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
2317, 22eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
2423oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))))
25 adddi 9882 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
2612, 25mp3an1 1402 . . . . . . . . . 10 (((i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
2721, 19, 26syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
28 ixi 10508 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
2928oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
30 mulass 9881 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
3112, 12, 30mp3an12 1405 . . . . . . . . . . . 12 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
329, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
339mulm1d 10334 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3429, 32, 333eqtr3a 2667 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
3534oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3627, 35eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3724, 36eqtrd 2643 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3837fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))))
394, 18crred 13768 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
4038, 39eqtrd 2643 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
4140fveq2d 6092 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4216, 41eqtrd 2643 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4342eqeq1d 2611 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1 ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1))
44 reim0b 13656 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4511, 43, 443bitr4rd 299 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794  ici 9795   + caddc 9796   · cmul 9798  -cneg 10119  cre 13634  cim 13635  abscabs 13771  expce 14580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-fac 12881  df-bc 12910  df-hash 12938  df-shft 13604  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-limsup 13999  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-ef 14586  df-sin 14588  df-cos 14589
This theorem is referenced by:  sineq0  24022  sineq0ALT  38019
  Copyright terms: Public domain W3C validator