MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absf 14027
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 13926 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2 absval 13928 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3 abscl 13968 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2699 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6349 1 abs:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895   · cmul 9901  ccj 13786  csqrt 13923  abscabs 13924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926
This theorem is referenced by:  lo1o1  14213  lo1o12  14214  abscn2  14279  climabs  14284  rlimabs  14289  cnfldds  19696  cnfldfun  19698  cnfldfunALT  19699  absabv  19743  cnmet  22515  cnbl0  22517  cnblcld  22518  cnfldms  22519  cnfldnm  22522  abscncf  22644  cnfldcusp  23093  ovolfsf  23180  ovolctb  23198  iblabslem  23534  iblabs  23535  bddmulibl  23545  dvlip2  23696  c1liplem1  23697  pserulm  24114  psercn2  24115  psercnlem2  24116  psercnlem1  24117  psercn  24118  pserdvlem1  24119  pserdvlem2  24120  pserdv  24121  pserdv2  24122  abelth  24133  efif1olem3  24228  efif1olem4  24229  efifo  24231  eff1olem  24232  logcn  24327  efopnlem1  24336  logtayl  24340  cnnv  27420  cnnvg  27421  cnnvs  27423  cnnvnm  27424  cncph  27562  mblfinlem2  33118  ftc1anclem1  33156  ftc1anclem2  33157  ftc1anclem3  33158  ftc1anclem4  33159  ftc1anclem5  33160  ftc1anclem6  33161  ftc1anclem7  33162  ftc1anclem8  33163  ftc1anc  33164  extoimad  37985  imo72b2lem0  37986  imo72b2lem2  37988  imo72b2lem1  37992  imo72b2  37996  sblpnf  38030  binomcxplemdvbinom  38073  binomcxplemcvg  38074  binomcxplemdvsum  38075  binomcxplemnotnn0  38076  absfun  39065  cncficcgt0  39436  fourierdlem42  39703  hoicvr  40099  ovolval2lem  40194  ovolval3  40198
  Copyright terms: Public domain W3C validator