MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absf 13867
Description: Mapping domain and codomain of the absolute value function. (Contributed by NM, 30-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absf abs:ℂ⟶ℝ

Proof of Theorem absf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abs 13766 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
2 absval 13768 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) = (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
3 abscl 13808 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
42, 3eqeltrrd 2684 . 2 (𝑥 ∈ ℂ → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) ∈ ℝ)
51, 4fmpti 6272 1 abs:ℂ⟶ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1975  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787   · cmul 9793  ccj 13626  csqrt 13763  abscabs 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766
This theorem is referenced by:  lo1o1  14053  lo1o12  14054  abscn2  14119  climabs  14124  rlimabs  14129  cnfldds  19519  absabv  19564  cnmet  22313  cnbl0  22315  cnblcld  22316  cnfldms  22317  cnfldnm  22320  abscncf  22439  cnfldcusp  22874  ovolfsf  22960  ovolctb  22978  iblabslem  23313  iblabs  23314  bddmulibl  23324  dvlip2  23475  c1liplem1  23476  pserulm  23893  psercn2  23894  psercnlem2  23895  psercnlem1  23896  psercn  23897  pserdvlem1  23898  pserdvlem2  23899  pserdv  23900  pserdv2  23901  abelth  23912  efif1olem3  24007  efif1olem4  24008  efifo  24010  eff1olem  24011  logcn  24106  efopnlem1  24115  logtayl  24119  cnnv  26708  cnnvg  26709  cnnvs  26712  cnnvnm  26713  cncph  26860  mblfinlem2  32416  ftc1anclem1  32454  ftc1anclem2  32455  ftc1anclem3  32456  ftc1anclem4  32457  ftc1anclem5  32458  ftc1anclem6  32459  ftc1anclem7  32460  ftc1anclem8  32461  ftc1anc  32462  extoimad  37285  imo72b2lem0  37286  imo72b2lem2  37288  imo72b2lem1  37292  imo72b2  37296  sblpnf  37330  binomcxplemdvbinom  37373  binomcxplemcvg  37374  binomcxplemdvsum  37375  binomcxplemnotnn0  37376  absfun  38307  cncficcgt0  38574  fourierdlem42  38842  hoicvr  39238  ovolval2lem  39333  ovolval3  39337
  Copyright terms: Public domain W3C validator