MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absge0d 14227
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absge0d (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absge0 14071 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  cc 9972  0cc0 9974  cle 10113  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14300  mulcn2  14370  o1mul  14389  o1rlimmul  14393  o1fsum  14589  cvgcmpce  14594  explecnv  14641  cvgrat  14659  mertenslem1  14660  mertenslem2  14661  efcllem  14852  eftlub  14883  sqnprm  15461  gzrngunitlem  19859  blcvx  22648  cnheibor  22801  cphsqrtcl2  23032  ipcau2  23079  trirn  23229  rrxdstprj1  23238  mbfi1fseqlem6  23532  iblabs  23640  iblabsr  23641  iblmulc2  23642  itgabs  23646  bddmulibl  23650  itgcn  23654  dvlip  23801  dvlipcn  23802  dveq0  23808  dv11cn  23809  plyeq0lem  24011  aalioulem3  24134  mtest  24203  radcnvlem1  24212  radcnvlem2  24213  radcnvlt1  24217  dvradcnv  24220  pserulm  24221  psercnlem2  24223  psercnlem1  24224  pserdvlem1  24226  pserdv  24228  abelthlem5  24234  abelthlem7  24237  abelthlem8  24238  tanregt0  24330  efif1olem3  24335  argregt0  24401  argrege0  24402  logtayllem  24450  logtayl  24451  abscxpbnd  24539  heron  24610  efrlim  24741  rlimcxp  24745  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem5  24804  lgamcvg2  24826  ftalem1  24844  ftalem4  24847  ftalem5  24848  lgsdirprm  25101  lgsdilem2  25103  lgsne0  25105  2sqblem  25201  dchrisumlem2  25224  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0flblem1  25242  dchrisum0lem2a  25251  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem2  25269  selberglem2  25280  selberg3lem2  25292  pntrsumbnd  25300  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntleml  25345  smcnlem  27680  nmoub3i  27756  nmfnge0  28914  sqsscirc2  30083  dnibndlem11  32603  knoppcnlem4  32611  unblimceq0lem  32622  unblimceq0  32623  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem18  32645  mblfinlem2  33577  iblabsnc  33604  iblmulc2nc  33605  itgabsnc  33609  bddiblnc  33610  ftc1anclem2  33616  ftc1anclem4  33618  ftc1anclem5  33619  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  ftc1anclem8  33622  ftc1anc  33623  ftc2nc  33624  dvasin  33626  areacirclem1  33630  areacirclem2  33631  areacirclem4  33633  areacirclem5  33634  areacirc  33635  cntotbnd  33725  rrndstprj1  33759  rrndstprj2  33760  ismrer1  33767  pell14qrgt0  37740  radcnvrat  38830  dvconstbi  38850  binomcxplemnotnn0  38872  abslt2sqd  39889  dvdivbd  40456  dvbdfbdioolem1  40461  dvbdfbdioolem2  40462  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  fourierdlem30  40672  fourierdlem39  40681  fourierdlem47  40688  fourierdlem73  40714  fourierdlem77  40718  fourierdlem87  40728  etransclem23  40792  rrndistlt  40828  smfmullem1  41319  smfmullem2  41320  smfmullem3  41321
  Copyright terms: Public domain W3C validator