MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absge0d 13980
Description: Absolute value is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absge0d (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absge0d
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absge0 13824 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976   class class class wbr 4577  cfv 5790  cc 9791  0cc0 9793  cle 9932  abscabs 13771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14053  mulcn2  14123  o1mul  14142  o1rlimmul  14146  o1fsum  14335  cvgcmpce  14340  explecnv  14385  cvgrat  14403  mertenslem1  14404  mertenslem2  14405  efcllem  14596  eftlub  14627  sqnprm  15201  gzrngunitlem  19579  blcvx  22357  cnheibor  22510  cphsqrtcl2  22739  ipcau2  22786  trirn  22936  rrxdstprj1  22945  mbfi1fseqlem6  23238  iblabs  23346  iblabsr  23347  iblmulc2  23348  itgabs  23352  bddmulibl  23356  itgcn  23360  dvlip  23505  dvlipcn  23506  dveq0  23512  dv11cn  23513  plyeq0lem  23715  aalioulem3  23838  mtest  23907  radcnvlem1  23916  radcnvlem2  23917  radcnvlt1  23921  dvradcnv  23924  pserulm  23925  psercnlem2  23927  psercnlem1  23928  pserdvlem1  23930  pserdv  23932  abelthlem5  23938  abelthlem7  23941  abelthlem8  23942  tanregt0  24034  efif1olem3  24039  argregt0  24105  argrege0  24106  logtayllem  24150  logtayl  24151  abscxpbnd  24239  heron  24310  efrlim  24441  rlimcxp  24445  lgamgulmlem2  24501  lgamgulmlem3  24502  lgamgulmlem5  24504  lgamcvg2  24526  ftalem1  24544  ftalem4  24547  ftalem5  24548  lgsdirprm  24801  lgsdilem2  24803  lgsne0  24805  2sqblem  24901  dchrisumlem2  24924  dchrmusum2  24928  dchrvmasumlem2  24932  dchrvmasumlem3  24933  dchrvmasumiflem1  24935  dchrisum0flblem1  24942  dchrisum0lem2a  24951  mudivsum  24964  mulogsumlem  24965  mulog2sumlem2  24969  selberglem2  24980  selberg3lem2  24992  pntrsumbnd  25000  pntrlog2bndlem1  25011  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem3  25013  pntrlog2bndlem5  25015  pntrlog2bndlem6  25017  pntrlog2bnd  25018  pntleml  25045  smcnlem  26765  nmoub3i  26846  nmfnge0  28004  sqsscirc2  29117  dnibndlem11  31482  knoppcnlem4  31490  unblimceq0lem  31501  unblimceq0  31502  knoppndvlem11  31517  knoppndvlem18  31524  mblfinlem2  32441  iblabsnc  32468  iblmulc2nc  32469  itgabsnc  32473  bddiblnc  32474  ftc1anclem2  32480  ftc1anclem4  32482  ftc1anclem5  32483  ftc1anclem6  32484  ftc1anclem7  32485  ftc1anclem8  32486  ftc1anc  32487  ftc2nc  32488  dvasin  32490  areacirclem1  32494  areacirclem2  32495  areacirclem4  32497  areacirclem5  32498  areacirc  32499  cntotbnd  32589  rrndstprj1  32623  rrndstprj2  32624  ismrer1  32631  pell14qrgt0  36265  radcnvrat  37359  dvconstbi  37379  binomcxplemnotnn0  37401  abslt2sqd  38341  dvdivbd  38637  dvbdfbdioolem1  38642  dvbdfbdioolem2  38643  ioodvbdlimc1lem1  38645  ioodvbdlimc1lem2  38646  ioodvbdlimc2lem  38648  fourierdlem30  38854  fourierdlem39  38863  fourierdlem47  38870  fourierdlem73  38896  fourierdlem77  38900  fourierdlem87  38910  etransclem23  38974  rrndistlt  39010  smfmullem1  39500  smfmullem2  39501  smfmullem3  39502
  Copyright terms: Public domain W3C validator