MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absid 14644
Description: A nonnegative number is its own absolute value. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
absid ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem absid
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10657 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 absval 14585 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
42, 3syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
51cjred 14573 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (∗‘𝐴) = 𝐴)
65oveq2d 7161 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
72sqvald 13495 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
86, 7eqtr4d 2856 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴↑2))
98fveq2d 6667 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (√‘(𝐴↑2)))
10 sqrtsq 14617 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
114, 9, 103eqtrd 2857 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  cle 10664  2c2 11680  cexp 13417  ccj 14443  csqrt 14580  abscabs 14581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583
This theorem is referenced by:  abs1  14645  absnid  14646  leabs  14647  absor  14648  sqabs  14655  max0add  14658  absidm  14671  abssubge0  14675  fzomaxdiflem  14690  absidi  14725  absidd  14770  o1fsum  15156  geo2lim  15219  geoihalfsum  15226  ege2le3  15431  eirrlem  15545  rpnnen2lem3  15557  rpnnen2lem9  15563  6gcd4e2  15874  lcmgcdnn  15943  lcmfun  15977  lcmfass  15978  zringndrg  20565  ncvsge0  23684  iscmet3lem3  23820  minveclem2  23956  mbfi1fseqlem6  24248  dvfsumrlim  24555  aaliou3lem3  24860  pserulm  24937  pige3ALT  25032  efif1olem4  25056  cxpcn3lem  25255  log2cnv  25449  log2tlbnd  25450  cxplim  25476  cxploglim2  25483  divsqrtsumo1  25488  fsumharmonic  25516  zetacvg  25519  logfacrlim  25727  logexprlim  25728  dchrmusum2  25997  dchrvmasumlem3  26002  dchrisum0lem1  26019  dchrisum0lem2a  26020  dchrisum0lem2  26021  mudivsum  26033  mulogsumlem  26034  log2sumbnd  26047  selberglem2  26049  selberg3lem1  26060  pntpbnd2  26090  pntibndlem2  26094  pntlemn  26103  pntlemj  26106  pntlemo  26110  ex-abs  28161  ex-gcd  28163  nvsge0  28368  nmoub2i  28478  minvecolem2  28579  subfacval3  32333  knoppndvlem14  33761  poimir  34806  ftc1anclem5  34852  oddcomabszz  39419  fourierdlem68  42336  itsclc0yqsol  44679
  Copyright terms: Public domain W3C validator