Theorem absle 13989

Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem absle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 10401	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1	recnd 10012	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 13952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		simplr 791	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		leabs 13973	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9		absneg 13951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
11	8, 10	breqtrd 4639	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
13	2, 5, 6, 11, 12	letrd 10138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ 𝐵)
14		leabs 13973	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
15	14	ad2antrr 761	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	1, 5, 6, 15, 12	letrd 10138	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	13, 16	jca 554	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 → (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		absor 13974	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
20	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
21		breq1 4616	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22	21	biimprd 238	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
23		breq1 4616	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ -𝐴 ≤ 𝐵))
24	23	biimprd 238	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (-𝐴 ≤ 𝐵 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
25	22, 24	jaoa 532	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
26	25	ancomsd 470	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
27	20, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
28	18, 27	impbid 202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
29		lenegcon1 10476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
30	29	anbi1d 740	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
31	28, 30	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  ℂcc 9878  ℝcr 9879   ≤ cle 10019  -cneg 10211  abscabs 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910

This theorem is referenced by:  absdifle  13992  lenegsq  13994  abs2difabs  14008  abslei  14065  absled  14103  volsup2  23279  efif1olem3  24194  argregt0  24260  argrege0  24261  abscxpbnd  24394  lgseisen  25004  ftc1anclem1  33114  pellexlem5  36874  rexabslelem  39106