Theorem absmuld 14816

Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
abscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absmuld	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem absmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		abssubd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		absmul 14656	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   · cmul 10544  abscabs 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597

This theorem is referenced by:  bhmafibid1  14827  mulcn2  14954  reccn2  14955  o1mul  14973  o1rlimmul  14977  iseraltlem3  15042  geomulcvg  15234  mertenslem1  15242  fprodabs  15330  absef  15552  efieq1re  15554  lcmgcd  15953  lcmid  15955  mulgcddvds  16001  prmirredlem  20642  blcvx  23408  iblmulc2  24433  itgabs  24437  bddmulibl  24441  dveflem  24578  dvlip  24592  dvlipcn  24593  plyeq0lem  24802  aalioulem4  24926  radcnvlem1  25003  dvradcnv  25011  pserulm  25012  abelthlem5  25025  abelthlem7  25028  abslogle  25203  logtayllem  25244  abscxpbnd  25336  chordthmlem4  25415  divsqrtsumo1  25563  lgamgulmlem2  25609  lgamgulmlem3  25610  lgamgulmlem5  25612  ftalem1  25652  ftalem2  25653  ftalem5  25656  logexprlim  25803  lgsdilem2  25911  2sqlem3  25998  dchrisumlem2  26068  dchrmusum2  26072  dchrvmasumlem3  26077  dchrvmasumiflem1  26079  dchrisum0lem2a  26095  dchrisum0lem2  26096  mudivsum  26108  mulogsumlem  26109  mulog2sumlem1  26112  mulog2sumlem2  26113  2vmadivsumlem  26118  selberglem2  26124  selberg3lem1  26135  selberg4lem1  26138  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem3  26157  pntibndlem2  26169  pntlemn  26178  pntlemj  26181  nmbdfnlbi  29828  nmcfnlbi  29831  cnzh  31213  rezh  31214  subfaclim  32437  knoppcnlem4  33837  knoppndvlem11  33863  knoppndvlem14  33866  iblmulc2nc  34959  itgabsnc  34963  cntotbnd  35076  irrapxlem2  39427  irrapxlem5  39430  pellexlem2  39434  absmulrposd  40516  imo72b2lem0  40523  radcnvrat  40653  fprodabs2  41883  dvdivbd  42215  dvbdfbdioolem1  42220  fourierdlem30  42429  fourierdlem39  42438  fourierdlem47  42445  fourierdlem68  42466  fourierdlem73  42471  fourierdlem77  42475  fourierdlem87  42485  etransclem23  42549  smfmullem1  43073