MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absnegd 13977
Description: Absolute value of negative. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
absnegd (𝜑 → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))

Proof of Theorem absnegd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absneg 13806 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5785  cc 9785  -cneg 10113  abscabs 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-2 10921  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-abs 13765
This theorem is referenced by:  abelthlem8  23909  tanabsge  23974  abssinper  23986  cxpcn3  24201  abscxpbnd  24206  cosangneg2d  24249  chordthmlem  24271  atantayl  24376  lgamgulmlem2  24468  lgambdd  24475  lgsneg  24758  pntibndlem2  24992  poimirlem29  32406  bddiblnc  32448  ftc1anclem8  32460  binomcxplemnotnn0  37375  neglimc  38513  stirlinglem5  38770  fourierdlem30  38829  fourierdlem39  38838  fourierdlem47  38845  fourierdlem73  38871  etransclem41  38967  hoicvr  39237
  Copyright terms: Public domain W3C validator