Theorem absnpncan2d 40015

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied twice). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan2d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan2d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan2d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan2d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan2d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))

Proof of Theorem absnpncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan2d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan2d.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
4	3	abscld 14374	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
5		absnpncan2d.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 10584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
7	6	abscld 14374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 10584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
9	8	abscld 14374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 10261	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
11		absnpncan2d.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 10584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 14374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14	11, 5	subcld 10584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
15	14	abscld 14374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
16	13, 15	readdcld 10261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17	16, 9	readdcld 10261	. 2 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
18	1, 5, 2	absnpncand 40007	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
19	1, 11, 5	absnpncand 40007	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
20	7, 16, 9, 19	leadd1dd 10833	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
21	4, 10, 17, 18, 20	letrd 10386	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126   + caddc 10131   ≤ cle 10267   − cmin 10458  abscabs 14173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175

This theorem is referenced by:  absnpncan3d  40020