Theorem absnpncan3d 41581

Description: Triangular inequality, combined with cancellation law for subtraction (applied three times). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
absnpncan3d.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absnpncan3d.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
absnpncan3d.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
absnpncan3d.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
absnpncan3d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
absnpncan3d	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Proof of Theorem absnpncan3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absnpncan3d.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absnpncan3d.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10999	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐸) ∈ ℂ)
4	3	abscld 14798	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ∈ ℝ)
5		absnpncan3d.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
6	1, 5	subcld 10999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) ∈ ℂ)
7	6	abscld 14798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ∈ ℝ)
8	5, 2	subcld 10999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 − 𝐸) ∈ ℂ)
9	8	abscld 14798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐷 − 𝐸)) ∈ ℝ)
10	7, 9	readdcld 10672	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
11		absnpncan3d.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 11	subcld 10999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
13	12	abscld 14798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
14		absnpncan3d.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
15	11, 14	subcld 10999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 14798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	13, 16	readdcld 10672	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	14, 5	subcld 10999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
19	18	abscld 14798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐷)) ∈ ℝ)
20	17, 19	readdcld 10672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) ∈ ℝ)
21	20, 9	readdcld 10672	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ∈ ℝ)
22	1, 2, 5	abs3difd 14822	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
23	1, 11, 14, 5	absnpncan2d 41576	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐷)) ≤ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))))
24	7, 20, 9, 23	leadd1dd 11256	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐷)) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))
25	4, 10, 21, 22, 24	letrd 10799	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐸)) ≤ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) + (abs‘(𝐶 − 𝐷))) + (abs‘(𝐷 − 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   ≤ cle 10678   − cmin 10872  abscabs 14595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597

This theorem is referenced by:  limclner  41939