MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absresq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absresq 13838
Description: Square of the absolute value of a real number. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absresq (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))

Proof of Theorem absresq
StepHypRef Expression
1 cjre 13675 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
21oveq2d 6542 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (𝐴 · 𝐴))
3 recn 9882 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4 absvalsq 13816 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
53, 4syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
63sqvald 12824 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
72, 5, 63eqtr4d 2653 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5789  (class class class)co 6526  cc 9790  cr 9791   · cmul 9797  2c2 10919  cexp 12679  ccj 13632  abscabs 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-seq 12621  df-exp 12680  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772
This theorem is referenced by:  lenegsq  13856  sqnprm  15200  zgcdsq  15247  zringunit  19605  trirn  22935  rrxdstprj1  22944  tanregt0  24033  chordthmlem4  24306  heron  24309  lgsne0  24804  lgssq  24806  lgssq2  24807  lgsqr  24820  lgsquad3  24856  2sqblem  24900  sqsscirc2  29076  sinccvglem  30613  dvasin  32449  areacirclem1  32453  areacirclem2  32454  areacirclem4  32456  areacirclem5  32457  areacirc  32458  cntotbnd  32548  rrndstprj1  32582  rrndstprj2  32583  ismrer1  32590  pellexlem6  36199  pell14qrgt0  36224  abslt2sqd  38300  rrndistlt  38969
  Copyright terms: Public domain W3C validator