MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absrpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absrpcld 14231
Description: The absolute value of a nonzero number is a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
absne0d.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
absrpcld (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem absrpcld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 absne0d.2 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 absrpcl 14072 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  wne 2823  cfv 5926  cc 9972  0cc0 9974  +crp 11870  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  rlimuni  14325  climuni  14327  rlimrecl  14355  reccn2  14371  rlimno1  14428  georeclim  14647  4sqlem11  15706  recld2  22664  c1liplem1  23804  aalioulem2  24133  aaliou2b  24141  ulmdvlem1  24199  abelthlem7  24237  tanregt0  24330  eff1olem  24339  logcnlem2  24434  logcnlem4  24436  logcn  24438  asinlem3  24643  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem5  24804  lgambdd  24808  lgamucov  24809  ftalem2  24845  ftalem4  24847  dchrabs  25030  sinccvglem  31692  unbdqndv2lem2  32626  rencldnfilem  37701  pellexlem6  37715  modabsdifz  37870  jm2.19  37877  imo72b2lem1  38788  cvgdvgrat  38829  binomcxplemnotnn0  38872  abssubrp  39801  dstregt0  39807  absimnre  40020  lptre2pt  40190  0ellimcdiv  40199  limclner  40201  climxrre  40300  cnrefiisplem  40373  cncficcgt0  40419
  Copyright terms: Public domain W3C validator