MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssubd 13982
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
abssubd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem abssubd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 abssub 13856 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cmin 10113  abscabs 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-2 10922  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-abs 13766
This theorem is referenced by:  rlimuni  14071  climuni  14073  2clim  14093  rlimrecl  14101  subcn2  14115  reccn2  14117  climcau  14191  caucvgrlem  14193  serf0  14201  mertenslem2  14398  xrsxmet  22348  elcncf2  22428  cnllycmp  22490  dvlip  23473  c1lip1  23477  dvfsumrlim2  23512  dvfsum2  23514  ftc1a  23517  aalioulem3  23806  ulmcaulem  23865  ulmcau  23866  ulmbdd  23869  ulmcn  23870  ulmdvlem1  23871  logcnlem4  24104  ssscongptld  24265  chordthmlem3  24274  chordthmlem4  24275  lgamucov  24477  ftalem2  24513  logfacrlim  24662  dchrisumlem3  24893  dchrisum0lem1b  24917  mulog2sumlem2  24937  pntrlog2bndlem3  24981  smcnlem  26733  qqhucn  29166  dnibndlem2  31441  dnibndlem6  31445  dnibndlem8  31447  dnibnd  31453  unbdqndv2lem1  31472  knoppndvlem10  31484  knoppndvlem15  31489  ftc1anclem8  32461  irrapxlem3  36205  irrapxlem5  36207  pell14qrgt0  36240  acongeq  36367  limcrecl  38496  islpcn  38506  lptre2pt  38507  0ellimcdiv  38516  limclner  38518  dvbdfbdioolem2  38619  ioodvbdlimc1lem1  38621  ioodvbdlimc1lem2  38622  ioodvbdlimc2lem  38624  fourierdlem42  38842  ioorrnopnlem  39000  smflimlem4  39460
  Copyright terms: Public domain W3C validator