MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abssubd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abssubd 14186
Description: Swapping order of subtraction doesn't change the absolute value. Example of [Apostol] p. 363. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abssubd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
abssubd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem abssubd
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 abssubd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 abssub 14060 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 693 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  cmin 10263  abscabs 13968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-2 11076  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-abs 13970
This theorem is referenced by:  rlimuni  14275  climuni  14277  2clim  14297  rlimrecl  14305  subcn2  14319  reccn2  14321  climcau  14395  caucvgrlem  14397  serf0  14405  mertenslem2  14611  xrsxmet  22606  elcncf2  22687  cnllycmp  22749  dvlip  23750  c1lip1  23754  dvfsumrlim2  23789  dvfsum2  23791  ftc1a  23794  aalioulem3  24083  ulmcaulem  24142  ulmcau  24143  ulmbdd  24146  ulmcn  24147  ulmdvlem1  24148  logcnlem4  24385  ssscongptld  24546  chordthmlem3  24555  chordthmlem4  24556  lgamucov  24758  ftalem2  24794  logfacrlim  24943  dchrisumlem3  25174  dchrisum0lem1b  25198  mulog2sumlem2  25218  pntrlog2bndlem3  25262  smcnlem  27536  qqhucn  30021  dnibndlem2  32453  dnibndlem6  32457  dnibndlem8  32459  dnibnd  32465  unbdqndv2lem1  32484  knoppndvlem10  32496  knoppndvlem15  32501  ftc1anclem8  33472  irrapxlem3  37214  irrapxlem5  37216  pell14qrgt0  37249  acongeq  37376  limcrecl  39667  islpcn  39677  lptre2pt  39678  0ellimcdiv  39687  limclner  39689  dvbdfbdioolem2  39913  ioodvbdlimc1lem1  39915  ioodvbdlimc1lem2  39916  ioodvbdlimc2lem  39918  fourierdlem42  40135  ioorrnopnlem  40293  smflimlem4  40751
  Copyright terms: Public domain W3C validator