Theorem abstri 6837

Description: Triangle inequality for absolute value. Proposition 10-3.7(h) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
releabs.1	⊢ A ∈ ℂ
abstri.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
abstri	⊢ (abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))

Proof of Theorem abstri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releabs.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℂ
2		abstri.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℂ
3	2	cjcl 6707	. . . . . . . 8 ⊢ (∗ ‘B) ∈ ℂ
4	1, 3	mulcl 5301	. . . . . . 7 ⊢ (A · (∗ ‘B)) ∈ ℂ
5	4	releabs 6836	. . . . . 6 ⊢ (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ (abs ‘(A · (∗ ‘B)))
6	1, 3	absmul 6790	. . . . . . 7 ⊢ (abs ‘(A · (∗ ‘B))) = ((abs ‘A) · (abs ‘(∗ ‘B)))
7	2	abscj 6788	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘(∗ ‘B)) = (abs ‘B)
8	7	opreq2i 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ‘A) · (abs ‘(∗ ‘B))) = ((abs ‘A) · (abs ‘B))
9	6, 8	eqtr 1492	. . . . . 6 ⊢ (abs ‘(A · (∗ ‘B))) = ((abs ‘A) · (abs ‘B))
10	5, 9	breqtr 2633	. . . . 5 ⊢ (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ ((abs ‘A) · (abs ‘B))
11		2pos 5944	. . . . . 6 ⊢ 0 < 2
12	4	recl 6705	. . . . . . 7 ⊢ (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ∈ ℝ
13	1	abscl 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘A) ∈ ℝ
14	2	abscl 6782	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ‘B) ∈ ℝ
15	13, 14	remulcl 5315	. . . . . . 7 ⊢ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) ∈ ℝ
16		2re 5934	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	12, 15, 16	lemul2 5800	. . . . . 6 ⊢ (0 < 2 → ((ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) ↔ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))))
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ ((ℜ ‘(A · (∗ ‘B))) ≤ ((abs ‘A) · (abs ‘B)) ↔ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
19	10, 18	mpbi 189	. . . 4 ⊢ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))
20	16, 12	remulcl 5315	. . . . 5 ⊢ (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ∈ ℝ
21	16, 15	remulcl 5315	. . . . 5 ⊢ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))) ∈ ℝ
22	13	resqcl 6562	. . . . . 6 ⊢ ((abs ‘A)↑2) ∈ ℝ
23	14	resqcl 6562	. . . . . 6 ⊢ ((abs ‘B)↑2) ∈ ℝ
24	22, 23	readdcl 5314	. . . . 5 ⊢ (((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) ∈ ℝ
25	20, 21, 24	leadd2 5575	. . . 4 ⊢ ((2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))) ≤ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))) ↔ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))) ≤ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))))
26	19, 25	mpbi 189	. . 3 ⊢ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B))))) ≤ ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
27	1, 2	sqabsadd 6793	. . 3 ⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · (ℜ ‘(A · (∗ ‘B)))))
28	13	recn 5294	. . . . 5 ⊢ (abs ‘A) ∈ ℂ
29	14	recn 5294	. . . . 5 ⊢ (abs ‘B) ∈ ℂ
30	28, 29	binom2 6583	. . . 4 ⊢ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))) + ((abs ‘B)↑2))
31	28	sqcl 6553	. . . . 5 ⊢ ((abs ‘A)↑2) ∈ ℂ
32	21	recn 5294	. . . . 5 ⊢ (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))) ∈ ℂ
33	29	sqcl 6553	. . . . 5 ⊢ ((abs ‘B)↑2) ∈ ℂ
34	31, 32, 33	add23 5321	. . . 4 ⊢ ((((abs ‘A)↑2) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B)))) + ((abs ‘B)↑2)) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
35	30, 34	eqtr 1492	. . 3 ⊢ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2) = ((((abs ‘A)↑2) + ((abs ‘B)↑2)) + (2 · ((abs ‘A) · (abs ‘B))))
36	26, 27, 35	3brtr4 2638	. 2 ⊢ ((abs ‘(A + B))↑2) ≤ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2)
37	1, 2	addcl 5300	. . . 4 ⊢ (A + B) ∈ ℂ
38	37	absge0 6783	. . 3 ⊢ 0 ≤ (abs ‘(A + B))
39	1	absge0 6783	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (abs ‘A)
40	2	absge0 6783	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (abs ‘B)
41	13, 14	addge0 5581	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ (abs ‘A) ⋀ 0 ≤ (abs ‘B)) → 0 ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B)))
42	39, 40, 41	mp2an 696	. . 3 ⊢ 0 ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))
43	37	abscl 6782	. . . 4 ⊢ (abs ‘(A + B)) ∈ ℝ
44	13, 14	readdcl 5314	. . . 4 ⊢ ((abs ‘A) + (abs ‘B)) ∈ ℝ
45	43, 44	le2sq 6564	. . 3 ⊢ ((0 ≤ (abs ‘(A + B)) ⋀ 0 ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))) → ((abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B)) ↔ ((abs ‘(A + B))↑2) ≤ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2)))
46	38, 42, 45	mp2an 696	. 2 ⊢ ((abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B)) ↔ ((abs ‘(A + B))↑2) ≤ (((abs ‘A) + (abs ‘B))↑2))
47	36, 46	mpbir 190	1 ⊢ (abs ‘(A + B)) ≤ ((abs ‘A) + (abs ‘B))

Syntax hints:   ↔ wb 146   ∈ wcel 956   class class class wbr 2614   ‘cfv 3177  (class class class)co 3954  ℂcc 5212  0cc0 5214   + caddc 5217   · cmul 5219   ≤ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  ↑cexp 6508  ℜcre 6686  ∗ccj 6688  abscabs 6689

This theorem is referenced by:  abstrit 6843

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693

Copyright terms: Public domain