MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absval 13768
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6084 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
2 oveq12 6532 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
31, 2mpdan 698 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
43fveq2d 6088 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
5 df-abs 13766 . 2 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
6 fvex 6094 . 2 (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6172 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786   · cmul 9793  ccj 13626  csqrt 13763  abscabs 13764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794  df-ov 6526  df-abs 13766
This theorem is referenced by:  absneg  13807  abscl  13808  abscj  13809  absvalsq  13810  absval2  13814  abs0  13815  absi  13816  absge0  13817  absrpcl  13818  absmul  13824  absid  13826  absre  13831  absf  13867  cphabscl  22713  tchcphlem2  22760  siii  26894  norm-iii-i  27182  absfico  38204
  Copyright terms: Public domain W3C validator