MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvdom 19538
Description: Any ring with an absolute value is a domain, which is to say that it contains no zero divisors. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvdom.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvdom ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem abvdom
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝐹𝐴)
2 simp2l 1191 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋𝐵)
3 simp3l 1193 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌𝐵)
4 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
5 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 abvdom.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
74, 5, 6abvmul 19529 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))
81, 2, 3, 7syl3anc 1363 . . 3 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)))
94, 5abvcl 19524 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
101, 2, 9syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
1110recnd 10657 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
124, 5abvcl 19524 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
131, 3, 12syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
1413recnd 10657 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
15 simp2r 1192 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋0 )
16 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
174, 5, 16abvne0 19527 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
181, 2, 15, 17syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
19 simp3r 1194 . . . . 5 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌0 )
204, 5, 16abvne0 19527 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵𝑌0 ) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
211, 3, 19, 20syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
2211, 14, 18, 21mulne0d 11280 . . 3 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹𝑌)) ≠ 0)
238, 22eqnetrd 3080 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0)
244, 16abv0 19531 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (𝐹0 ) = 0)
251, 24syl 17 . . . 4 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹0 ) = 0)
26 fveqeq2 6672 . . . 4 ((𝑋 · 𝑌) = 0 → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0 ↔ (𝐹0 ) = 0))
2725, 26syl5ibrcom 248 . . 3 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = 0))
2827necon3d 3034 . 2 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ≠ 0 → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
2923, 28mpd 15 1 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525   · cmul 10530  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  0gc0g 16701  AbsValcabv 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-ico 12732  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-ring 19228  df-abv 19517
This theorem is referenced by:  abvn0b  20003
  Copyright terms: Public domain W3C validator