Theorem abvf 19586

Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abvf.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvf	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Proof of Theorem abvf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abvf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2		abvf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	abvfge0 19585	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
4		rge0ssre 12836	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
5		fss 6520	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:𝐵⟶ℝ)
6	3, 4, 5	sylancl 588	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹:𝐵⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3934  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  [,)cico 12732  Basecbs 16475  AbsValcabv 19579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-addrcl 10590  ax-rnegex 10600  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-ico 12736  df-abv 19580

This theorem is referenced by:  abvcl  19587  abvres  19602  abvmet  23177  tngnrg  23275  ostthlem1  26195