MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvge0 18590
Description: The absolute value of a number is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvge0 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑋))

Proof of Theorem abvge0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2abvfge0 18587 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
43ffvelrnda 6248 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ (0[,)+∞))
5 elrege0 12101 . . 3 ((𝐹𝑋) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑋)))
65simprbi 478 . 2 ((𝐹𝑋) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑋))
74, 6syl 17 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → 0 ≤ (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cr 9787  0cc0 9788  +∞cpnf 9923  cle 9927  [,)cico 12000  Basecbs 15637  AbsValcabv 18581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-ico 12004  df-abv 18582
This theorem is referenced by:  abvgt0  18593  abvneg  18599  abvcxp  25017  ostth2lem2  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator