MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvne0 19527
Description: The absolute value of a nonzero number is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abveq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvne0 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)

Proof of Theorem abvne0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvf.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 abveq0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3abveq0 19526 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) = 0 ↔ 𝑋 = 0 ))
54necon3bid 3057 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → ((𝐹𝑋) ≠ 0 ↔ 𝑋0 ))
65biimp3ar 1461 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐹𝑋) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  0cc0 10525  Basecbs 16471  0gc0g 16701  AbsValcabv 19516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-abv 19517
This theorem is referenced by:  abvgt0  19528  abv1z  19532  abvrec  19536  abvdiv  19537  abvdom  19538
  Copyright terms: Public domain W3C validator