MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvres 18755
Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvres.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvres.s 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
abvres.b 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
abvres ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem abvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvres.b . . 3 𝐵 = (AbsVal‘𝑆)
21a1i 11 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (AbsVal‘𝑆))
3 abvres.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐶)
43subrgbas 18705 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
54adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 = (Base‘𝑆))
6 eqid 2626 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
73, 6ressplusg 15909 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
87adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
9 eqid 2626 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
103, 9ressmulr 15922 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12 subrgsubg 18702 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
1312adantl 482 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14 eqid 2626 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
153, 14subg0 17516 . . 3 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
1613, 15syl 17 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (0g𝑅) = (0g𝑆))
173subrgring 18699 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
1817adantl 482 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
19 abvres.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
20 eqid 2626 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2119, 20abvf 18739 . . 3 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
2220subrgss 18697 . . 3 (𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
23 fssres 6029 . . 3 ((𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2421, 22, 23syl2an 494 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶):𝐶⟶ℝ)
2514subg0cl 17518 . . . 4 (𝐶 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝐶)
26 fvres 6165 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2713, 25, 263syl 18 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = (𝐹‘(0g𝑅)))
2819, 14abv0 18747 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
2928adantr 481 . . 3 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹‘(0g𝑅)) = 0)
3027, 29eqtrd 2660 . 2 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘(0g𝑅)) = 0)
31 simp1l 1083 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝐹𝐴)
3222adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
3332sselda 3588 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34333adant3 1079 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
35 simp3 1061 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
3619, 20, 14abvgt0 18744 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
3731, 34, 35, 36syl3anc 1323 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < (𝐹𝑥))
38 fvres 6165 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
39383ad2ant2 1081 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4037, 39breqtrrd 4646 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) → 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑥))
41 simp1l 1083 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐹𝐴)
42 simp1r 1084 . . . . . 6 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅))
4342, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
44 simp2l 1085 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥𝐶)
4543, 44sseldd 3589 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3l 1087 . . . . 5 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦𝐶)
4743, 46sseldd 3589 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
4819, 20, 9abvmul 18745 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
4941, 45, 47, 48syl3anc 1323 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
509subrgmcl 18708 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
5142, 44, 46, 50syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
52 fvres 6165 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)))
5351, 52syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)))
5444, 38syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
55 fvres 6165 . . . . 5 (𝑦𝐶 → ((𝐹𝐶)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
5646, 55syl 17 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘𝑦) = (𝐹𝑦))
5754, 56oveq12d 6623 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)))
5849, 53, 573eqtr4d 2670 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = (((𝐹𝐶)‘𝑥) · ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
5919, 20, 6abvtri 18746 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
6041, 45, 47, 59syl3anc 1323 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
616subrgacl 18707 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝐶𝑦𝐶) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
6242, 44, 46, 61syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶)
63 fvres 6165 . . . 4 ((𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
6462, 63syl 17 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)))
6554, 56oveq12d 6623 . . 3 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)) = ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))
6660, 64, 653brtr4d 4650 . 2 (((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐶𝑥 ≠ (0g𝑅)) ∧ (𝑦𝐶𝑦 ≠ (0g𝑅))) → ((𝐹𝐶)‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ (((𝐹𝐶)‘𝑥) + ((𝐹𝐶)‘𝑦)))
672, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 58, 66isabvd 18736 1 ((𝐹𝐴𝐶 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wss 3560   class class class wbr 4618  cres 5081  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  Basecbs 15776  s cress 15777  +gcplusg 15857  .rcmulr 15858  0gc0g 16016  SubGrpcsubg 17504  Ringcrg 18463  SubRingcsubrg 18692  AbsValcabv 18732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-ico 12120  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-mgp 18406  df-ring 18465  df-subrg 18694  df-abv 18733
This theorem is referenced by:  subrgnrg  22382  qabsabv  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator