Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvsubtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvsubtri 18829
 Description: An absolute value satisfies the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvsubtri.p = (-g𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvsubtri ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvsubtri
StepHypRef Expression
1 abvneg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3 eqid 2621 . . . . 5 (invg𝑅) = (invg𝑅)
4 abvsubtri.p . . . . 5 = (-g𝑅)
51, 2, 3, 4grpsubval 17459 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
653adant1 1078 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌)))
76fveq2d 6193 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))))
8 abv0.a . . . . . . . 8 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
98abvrcl 18815 . . . . . . 7 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1081 . . . . . 6 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11 ringgrp 18546 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
13 simp3 1062 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
141, 3grpinvcl 17461 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
1512, 13, 14syl2anc 693 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
168, 1, 2abvtri 18824 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ ((invg𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌))))
1715, 16syld3an3 1370 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌))))
188, 1, 3abvneg 18828 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌)) = (𝐹𝑌))
19183adant2 1079 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌)) = (𝐹𝑌))
2019oveq2d 6663 . . 3 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹‘((invg𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
2117, 20breqtrd 4677 . 2 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋(+g𝑅)((invg𝑅)‘𝑌))) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
227, 21eqbrtrd 4673 1 ((𝐹𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) ≤ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   class class class wbr 4651  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647   + caddc 9936   ≤ cle 10072  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  Grpcgrp 17416  invgcminusg 17417  -gcsg 17418  Ringcrg 18541  AbsValcabv 18810 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-ico 12178  df-seq 12797  df-exp 12856  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-abv 18811 This theorem is referenced by:  abvmet  22374
 Copyright terms: Public domain W3C validator