Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvtriv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvtriv 19063
 Description: The trivial absolute value. (This theorem is true as long as 𝑅 is a domain, but it is not true for rings with zero divisors, which violate the multiplication axiom; abvdom 19060 is the converse of this remark.) (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvtriv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvtriv.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvtriv.z 0 = (0g𝑅)
abvtriv.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
Assertion
Ref Expression
abvtriv (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem abvtriv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvtriv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
2 abvtriv.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 abvtriv.z . 2 0 = (0g𝑅)
4 abvtriv.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥 = 0 , 0, 1))
5 eqid 2760 . 2 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 drngring 18976 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
7 biid 251 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ 𝑅 ∈ DivRing)
8 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑦𝐵𝑦0 ))
9 eldifsn 4462 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑧𝐵𝑧0 ))
102, 5, 3drngmcl 18982 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
117, 8, 9, 10syl3anbr 1166 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
12 eldifsn 4462 . . . 4 ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1311, 12sylib 208 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → ((𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 ))
1413simprd 482 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑦𝐵𝑦0 ) ∧ (𝑧𝐵𝑧0 )) → (𝑦(.r𝑅)𝑧) ≠ 0 )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14abvtrivd 19062 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝐹𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3712  ifcif 4230  {csn 4321   ↦ cmpt 4881  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  0gc0g 16322  DivRingcdr 18969  AbsValcabv 19038 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ico 12394  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-abv 19039 This theorem is referenced by:  ostth1  25542  ostth  25548
 Copyright terms: Public domain W3C validator