MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5num Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac5num 8972
Description: A version of ac5b 9413 with the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ac5num (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝐴

Proof of Theorem ac5num
Dummy variables 𝑔 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexr 7089 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
2 dfac8b 8967 . . . 4 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑟 𝑟 We 𝐴)
3 dfac8c 8969 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (∃𝑟 𝑟 We 𝐴 → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)))
41, 2, 3sylc 65 . . 3 ( 𝐴 ∈ dom card → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
54adantr 472 . 2 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
6 nelne2 2993 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
76ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ∅ ∈ 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
87adantll 752 . . . . . . . . . 10 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
9 pm2.27 42 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1110ralimdva 3064 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
1211imp 444 . . . . . . 7 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
13 fveq2 6304 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑦))
14 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
1513, 14eleq12d 2797 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑔𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑦) ∈ 𝑦))
1615rspccva 3412 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
1712, 16sylan 489 . . . . . 6 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝑦)
18 elunii 4549 . . . . . 6 (((𝑔𝑦) ∈ 𝑦𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
1917, 18sylancom 704 . . . . 5 (((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑔𝑦) ∈ 𝐴)
20 eqid 2724 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))
2119, 20fmptd 6500 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴)
221ad2antrr 764 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
23 elex 3316 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ dom card → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 764 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → 𝐴 ∈ V)
25 fex2 7238 . . . 4 (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1439 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V)
27 fveq2 6304 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑔𝑦) = (𝑔𝑥))
28 fvex 6314 . . . . . . . 8 (𝑔𝑥) ∈ V
2927, 20, 28fvmpt 6396 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) = (𝑔𝑥))
3029eleq1d 2788 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ (𝑔𝑥) ∈ 𝑥))
3130ralbiia 3081 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)
3212, 31sylibr 224 . . . 4 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)
3321, 32jca 555 . . 3 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
34 feq1 6139 . . . . 5 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓:𝐴 𝐴 ↔ (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴))
35 fveq1 6303 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (𝑓𝑥) = ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥))
3635eleq1d 2788 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3736ralbidv 3088 . . . . 5 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥))
3834, 37anbi12d 749 . . . 4 (𝑓 = (𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) → ((𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥)))
3938spcegv 3398 . . 3 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)) ∈ V → (((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦)):𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑦𝐴 ↦ (𝑔𝑦))‘𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
4026, 33, 39sylc 65 . 2 ((( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑔𝑥) ∈ 𝑥)) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
415, 40exlimddv 1976 1 (( 𝐴 ∈ dom card ∧ ¬ ∅ ∈ 𝐴) → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  Vcvv 3304  c0 4023   cuni 4544  cmpt 4837   We wwe 5176  dom cdm 5218  wf 5997  cfv 6001  cardccrd 8874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-en 8073  df-card 8878
This theorem is referenced by:  numacn  8985  ac5b  9413  ac6num  9414
  Copyright terms: Public domain W3C validator