Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6c4 9341
 Description: Equivalent of Axiom of Choice. 𝐵 is a collection 𝐵(𝑥) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1 𝐴 ∈ V
ac6c4.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ac6c4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1883 . . . 4 𝑧 𝐵 ≠ ∅
2 nfcsb1v 3582 . . . . 5 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
3 nfcv 2793 . . . . 5 𝑥
42, 3nfne 2923 . . . 4 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅
5 csbeq1a 3575 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
65neeq1d 2882 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ≠ ∅ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅))
71, 4, 6cbvral 3197 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅)
8 n0 3964 . . . . 5 (𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
9 nfv 1883 . . . . . 6 𝑦 𝑧𝐴
10 nfre1 3034 . . . . . 6 𝑦𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵
112nfel2 2810 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵
125eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
1311, 12rspce 3335 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
14 eliun 4556 . . . . . . . . 9 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
1513, 14sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → 𝑦 𝑥𝐴 𝐵)
16 rspe 3032 . . . . . . . 8 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
1715, 16sylancom 702 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝑦𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
1817ex 449 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
199, 10, 18exlimd 2125 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (∃𝑦 𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
208, 19syl5bi 232 . . . 4 (𝑧𝐴 → (𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵))
2120ralimia 2979 . . 3 (∀𝑧𝐴 𝑧 / 𝑥𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
227, 21sylbi 207 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵)
23 ac6c4.1 . . 3 𝐴 ∈ V
24 ac6c4.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
2523, 24iunex 7189 . . 3 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V
26 eleq1 2718 . . 3 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
2723, 25, 26ac6 9340 . 2 (∀𝑧𝐴𝑦 𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑧 / 𝑥𝐵 → ∃𝑓(𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
28 ffn 6083 . . . 4 (𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵𝑓 Fn 𝐴)
29 nfv 1883 . . . . . 6 𝑧(𝑓𝑥) ∈ 𝐵
302nfel2 2810 . . . . . 6 𝑥(𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵
31 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑧))
3231, 5eleq12d 2724 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵))
3329, 30, 32cbvral 3197 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵)
3433biimpri 218 . . . 4 (∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵 → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
3528, 34anim12i 589 . . 3 ((𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵) → (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3635eximi 1802 . 2 (∃𝑓(𝑓:𝐴 𝑥𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 / 𝑥𝐵) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
3722, 27, 363syl 18 1 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231  ⦋csb 3566  ∅c0 3948  ∪ ciun 4552   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-ac2 9323 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-en 7998  df-card 8803  df-ac 8977 This theorem is referenced by:  ac6c5  9342  ac9  9343
 Copyright terms: Public domain W3C validator