Theorem ac6gf 35009

Description: Axiom of Choice. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
ac6gf.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
ac6gf.2	⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ac6gf	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑓   𝑥,𝐵,𝑦,𝑓   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ac6gf

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvrexsvw 3470	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
2	1	ralbii 3167	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
3		ac6gf.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		ac6gf.2	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	3, 4	sbhypf 3554	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘𝑥) → ([𝑧 / 𝑦]𝜑 ↔ 𝜓))
6	5	ac6sg 9912	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓)))
7	6	imp 409	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))
8	2, 7	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780  Ⅎwnf 1784  [wsb 2069   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-reg 9058  ax-inf2 9106  ax-ac2 9887

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-en 8512  df-r1 9195  df-rank 9196  df-card 9370  df-ac 9544

This theorem is referenced by:  indexdom  35011