Theorem aceq6a 4721

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 4727) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See aceq6b 4722 for the converse (which does use the Axiom of Regularity).

Assertion

Ref	Expression
aceq6a	⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → ∀x∃f(f ⊆ x ⋀ f Fn dom x))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v

Proof of Theorem aceq6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u = z → (w ∈ u ↔ w ∈ z))
2		eleq1 1531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (u = z → (u ∈ v ↔ z ∈ v))
3	2	anbi1d 616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u = z → ((u ∈ v ⋀ w ∈ v) ↔ (z ∈ v ⋀ w ∈ v)))
4	3	rexbidv 1661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u = z → (∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v) ↔ ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)))
5	1, 4	anbi12d 627	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u = z → ((w ∈ u ⋀ ∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)) ↔ (w ∈ z ⋀ ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v))))
6	5	abbidv 1574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → {w∣(w ∈ u ⋀ ∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v))} = {w∣(w ∈ z ⋀ ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v))})
7		df-rab 1649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)} = {w∣(w ∈ u ⋀ ∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v))}
8		df-rab 1649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)} = {w∣(w ∈ z ⋀ ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → {w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)} = {w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)})
10	9	unieqd 2507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = z → ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)} = ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)})
11		eqid 1473	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})}
12		visset 1809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ z ∈ V
13	12	rabex 2720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)} ∈ V
14	13	uniex 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)} ∈ V
15	10, 11, 14	fvopab4 3771	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ x → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) = ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)})
16	15	eleq1d 1537	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ x → (({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z ↔ ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)} ∈ z))
17		reucl 2880	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v) → ∪{w ∈ z∣∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)} ∈ z)
18	16, 17	syl5bir 210	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ x → (∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v) → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z))
19	18	imim2d 25	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ x → ((z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → (z ≠ ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z)))
20	19	r19.20i 1701	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → ∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z))
21		visset 1809	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
22	21	opabex2 3602	. . . . . 6 ⊢ {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ∈ V
23		fveq1 3714	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} → (f ‘z) = ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z))
24	23	eleq1d 1537	. . . . . . . 8 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} → ((f ‘z) ∈ z ↔ ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z))
25	24	imbi2d 611	. . . . . . 7 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} → ((z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z) ↔ (z ≠ ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z)))
26	25	ralbidv 1660	. . . . . 6 ⊢ (f = {⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} → (∀z ∈ x (z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z) ↔ ∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z)))
27	22, 26	cla4ev 1865	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ({⟨u, g⟩∣(u ∈ x ⋀ g = ∪{w ∈ u∣∃v ∈ y (u ∈ v ⋀ w ∈ v)})} ‘z) ∈ z) → ∃f∀z ∈ x (z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z))
28	20, 27	syl 10	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → ∃f∀z ∈ x (z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z))
29	28	19.23aiv 1293	. . 3 ⊢ (∃y∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → ∃f∀z ∈ x (z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z))
30	29	19.20i 990	. 2 ⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → ∀x∃f∀z ∈ x (z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z))
31		aceq3 4713	. 2 ⊢ (∀x∃f(f ⊆ x ⋀ f Fn dom x) ↔ ∀x∃f∀z ∈ x (z ≠ ∅ → (f ‘z) ∈ z))
32	30, 31	sylibr 200	1 ⊢ (∀x∃y∀z ∈ x (z ≠ ∅ → ∃!w ∈ z ∃v ∈ y (z ∈ v ⋀ w ∈ v)) → ∀x∃f(f ⊆ x ⋀ f Fn dom x))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∃wex 978  {cab 1461   ≠ wne 1582  ∀wral 1642  ∃wrex 1643  ∃!wreu 1644  {crab 1645   ⊆ wss 2043  ∅c0 2276  ∪cuni 2498  {copab 2661  dom cdm 3165   Fn wfn 3172   ‘cfv 3177

This theorem is referenced by:  aceq7 4723  ac7 4728

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain