MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem10 8996
Description: Lemma for ackbij1 9005. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
2 inss2 3817 . . . . 5 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
32sseli 3584 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
4 snfi 7983 . . . . . 6 {𝑦} ∈ Fin
5 inss1 3816 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
65sseli 3584 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 ω)
76elpwid 4146 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ ω)
8 onfin2 8097 . . . . . . . . . 10 ω = (On ∩ Fin)
9 inss2 3817 . . . . . . . . . 10 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
108, 9eqsstri 3619 . . . . . . . . 9 ω ⊆ Fin
117, 10syl6ss 3600 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ Fin)
1211sselda 3588 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
13 pwfi 8206 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
1412, 13sylib 208 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝒫 𝑦 ∈ Fin)
15 xpfi 8176 . . . . . 6 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑦 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
164, 14, 15sylancr 694 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
1716ralrimiva 2965 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
18 iunfi 8199 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
193, 17, 18syl2anc 692 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin)
20 ficardom 8732 . . 3 ( 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦) ∈ Fin → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
2119, 20syl 17 . 2 (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)) ∈ ω)
221, 21fmpti 6340 1 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cin 3559  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   ciun 4490  cmpt 4678   × cxp 5077  Oncon0 5685  wf 5846  cfv 5850  ωcom 7013  Fincfn 7900  cardccrd 8706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8998  ackbij1lem13  8999  ackbij1lem14  9000  ackbij1lem15  9001  ackbij1lem16  9002  ackbij1lem17  9003  ackbij1lem18  9004  ackbij1b  9006
  Copyright terms: Public domain W3C validator