MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem13 9092
Description: Lemma for ackbij1 9098. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13 (𝐹‘∅) = ∅
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 9089 . . . . 5 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3 peano1 7127 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3f0cli 6410 . . . 4 (𝐹‘∅) ∈ ω
5 nna0 7729 . . . 4 ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅)
7 un0 4000 . . . 4 (∅ ∪ ∅) = ∅
87fveq2i 6232 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9 ackbij1lem3 9082 . . . . 5 (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
103, 9ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11 in0 4001 . . . 4 (∅ ∩ ∅) = ∅
121ackbij1lem9 9088 . . . 4 ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)))
1310, 10, 11, 12mp3an 1464 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅))
146, 8, 133eqtr2ri 2680 . 2 ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅)
15 nnacan 7753 . . 3 (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
164, 4, 3, 15mp3an 1464 . 2 (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
1714, 16mpbi 220 1 (𝐹‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1523  wcel 2030  cun 3605  cin 3606  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   ciun 4552  cmpt 4762   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   +𝑜 coa 7602  Fincfn 7997  cardccrd 8799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  9093  ackbij1  9098
  Copyright terms: Public domain W3C validator