MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem13 8914
Description: Lemma for ackbij1 8920. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13 (𝐹‘∅) = ∅
Distinct variable group:   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
21ackbij1lem10 8911 . . . . 5 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
3 peano1 6954 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3f0cli 6263 . . . 4 (𝐹‘∅) ∈ ω
5 nna0 7548 . . . 4 ((𝐹‘∅) ∈ ω → ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅))
64, 5ax-mp 5 . . 3 ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) = (𝐹‘∅)
7 un0 3918 . . . 4 (∅ ∪ ∅) = ∅
87fveq2i 6091 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = (𝐹‘∅)
9 ackbij1lem3 8904 . . . . 5 (∅ ∈ ω → ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
103, 9ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)
11 in0 3919 . . . 4 (∅ ∩ ∅) = ∅
121ackbij1lem9 8910 . . . 4 ((∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ∅ ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (∅ ∩ ∅) = ∅) → (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)))
1310, 10, 11, 12mp3an 1415 . . 3 (𝐹‘(∅ ∪ ∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅))
146, 8, 133eqtr2ri 2638 . 2 ((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅)
15 nnacan 7572 . . 3 (((𝐹‘∅) ∈ ω ∧ (𝐹‘∅) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅))
164, 4, 3, 15mp3an 1415 . 2 (((𝐹‘∅) +𝑜 (𝐹‘∅)) = ((𝐹‘∅) +𝑜 ∅) ↔ (𝐹‘∅) = ∅)
1714, 16mpbi 218 1 (𝐹‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  cun 3537  cin 3538  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   ciun 4449  cmpt 4637   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  ωcom 6934   +𝑜 coa 7421  Fincfn 7818  cardccrd 8621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  8915  ackbij1  8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator