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Theorem ackbij1lem16 9002
Description: Lemma for ackbij1 9005. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem16 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹𝐴) = (𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Proof of Theorem ackbij1lem16
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3816 . . . . . . . . 9 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ 𝒫 ω
21sseli 3584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
32elpwid 4146 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ⊆ ω)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐴 ⊆ ω)
51sseli 3584 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ 𝒫 ω)
65elpwid 4146 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ⊆ ω)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ ω)
84, 7unssd 3772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ ω)
9 inss2 3817 . . . . . . 7 (𝒫 ω ∩ Fin) ⊆ Fin
109sseli 3584 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
119sseli 3584 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
12 unfi 8172 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
1310, 11, 12syl2an 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
14 nnunifi 8156 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ⊆ ω ∧ (𝐴𝐵) ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ ω)
158, 13, 14syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ∈ ω)
16 peano2 7034 . . . 4 ( (𝐴𝐵) ∈ ω → suc (𝐴𝐵) ∈ ω)
1715, 16syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → suc (𝐴𝐵) ∈ ω)
18 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∩ ∅))
1918fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)))
20 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → (𝐵𝑎) = (𝐵 ∩ ∅))
2120fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)))
2219, 21eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅))))
2318, 20eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)))
2422, 23imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)) → (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅))))
2524imbi2d 330 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)) → (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)))))
26 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴𝑏))
2726fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴𝑏)))
28 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵𝑏))
2928fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
3027, 29eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
3126, 28eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)))
3230, 31imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏))))
3332imbi2d 330 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)))))
34 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∩ suc 𝑏))
3534fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
36 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐵𝑎) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))
3736fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = suc 𝑏 → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
3835, 37eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))))
3934, 36eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = suc 𝑏 → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
4038, 39imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = suc 𝑏 → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))))
4140imbi2d 330 . . . 4 (𝑎 = suc 𝑏 → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
42 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)))
4342fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))))
44 ineq2 3791 . . . . . . . 8 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐵𝑎) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))
4544fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (𝐹‘(𝐵𝑎)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))
4643, 45eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) ↔ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))))
4742, 44eqeq12d 2641 . . . . . 6 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → ((𝐴𝑎) = (𝐵𝑎) ↔ (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))
4846, 47imbi12d 334 . . . . 5 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎)) ↔ ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))))
4948imbi2d 330 . . . 4 (𝑎 = suc (𝐴𝐵) → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑎)) = (𝐹‘(𝐵𝑎)) → (𝐴𝑎) = (𝐵𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))))
50 in0 3945 . . . . . 6 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
51 in0 3945 . . . . . 6 (𝐵 ∩ ∅) = ∅
5250, 51eqtr4i 2651 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)
53522a1i 12 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ ∅)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ ∅)) → (𝐴 ∩ ∅) = (𝐵 ∩ ∅)))
54 simp13 1091 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
55 3simpa 1056 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))))
56 ackbij1lem2 8988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)))
5756fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐴 → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))))
58573ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))))
59 ackbij1lem4 8990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ω → {𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → {𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
61 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
62 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴𝑏) ⊆ 𝐴
63 ackbij.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ↦ (card‘ 𝑦𝑥 ({𝑦} × 𝒫 𝑦)))
6463ackbij1lem11 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴𝑏) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
6561, 62, 64sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
66 incom 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑏} ∩ (𝐴𝑏)) = ((𝐴𝑏) ∩ {𝑏})
67 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴𝑏) ⊆ 𝑏
68 nnord 7021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ ω → Ord 𝑏)
69 orddisj 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Ord 𝑏 → (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ω → (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅)
72 ssdisj 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴𝑏) ⊆ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅) → ((𝐴𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
7367, 71, 72sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ((𝐴𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
7466, 73syl5eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ({𝑏} ∩ (𝐴𝑏)) = ∅)
7563ackbij1lem9 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ (𝐴𝑏)) = ∅) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))))
7660, 65, 74, 75syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))))
77763ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))))
7858, 77eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))))
7955, 78syl3an1 1356 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))))
80 ackbij1lem2 8988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
8180fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝐵 → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))))
82813ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))))
83 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
84 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑏) ⊆ 𝐵
8563ackbij1lem11 8997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝑏) ⊆ 𝐵) → (𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
8683, 84, 85sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
87 incom 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑏} ∩ (𝐵𝑏)) = ((𝐵𝑏) ∩ {𝑏})
88 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵𝑏) ⊆ 𝑏
89 ssdisj 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵𝑏) ⊆ 𝑏 ∧ (𝑏 ∩ {𝑏}) = ∅) → ((𝐵𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
9088, 71, 89sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ((𝐵𝑏) ∩ {𝑏}) = ∅)
9187, 90syl5eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → ({𝑏} ∩ (𝐵𝑏)) = ∅)
9263ackbij1lem9 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ (𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ ({𝑏} ∩ (𝐵𝑏)) = ∅) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9360, 86, 91, 92syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))))
94933ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘({𝑏} ∪ (𝐵𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9582, 94eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9655, 95syl3an1 1356 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9754, 79, 963eqtr3d 2668 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))))
9863ackbij1lem10 8996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:(𝒫 ω ∩ Fin)⟶ω
9998ffvelrni 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({𝑏} ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘{𝑏}) ∈ ω)
10060, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘{𝑏}) ∈ ω)
10198ffvelrni 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) ∈ ω)
10265, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) ∈ ω)
10398ffvelrni 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵𝑏) ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) → (𝐹‘(𝐵𝑏)) ∈ ω)
10486, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (𝐹‘(𝐵𝑏)) ∈ ω)
105 nnacan 7654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹‘{𝑏}) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐴𝑏)) ∈ ω ∧ (𝐹‘(𝐵𝑏)) ∈ ω) → (((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
106100, 102, 104, 105syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))) → (((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
1071063adant3 1079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
1081073ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐴𝑏))) = ((𝐹‘{𝑏}) +𝑜 (𝐹‘(𝐵𝑏))) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
10997, 108mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
110 uneq2 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
111110adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
11256ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐴𝑏)))
11380ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = ({𝑏} ∪ (𝐵𝑏)))
114111, 112, 1133eqtr4d 2670 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏𝐴𝑏𝐵) ∧ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))
115114ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏𝐴𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1161153adant1 1077 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
117109, 116embantd 59 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1181173exp 1261 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏𝐴 → (𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
119 simp13 1091 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
120119eqcomd 2632 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
121 simp12r 1173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
122 simp12l 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
123 simp11 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ω)
124 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → 𝑏𝐵)
125 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ¬ 𝑏𝐴)
12663ackbij1lem15 9001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑏𝐵 ∧ ¬ 𝑏𝐴)) → ¬ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
127121, 122, 123, 124, 125, 126syl23anc 1330 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → ¬ (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)))
128120, 127pm2.21dd 186 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1291283exp 1261 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (¬ 𝑏𝐴 → (𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
130118, 129pm2.61d 170 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))))
131 simp13 1091 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
132 simp12l 1172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
133 simp12r 1173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
134 simp11 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ω)
135 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → 𝑏𝐴)
136 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ¬ 𝑏𝐵)
13763ackbij1lem15 9001 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝑏 ∈ ω ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵)) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
138132, 133, 134, 135, 136, 137syl23anc 1330 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ¬ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
139131, 138pm2.21dd 186 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1401393exp 1261 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (𝑏𝐴 → (¬ 𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
141 simp13 1091 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)))
142 ackbij1lem1 8987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐴 → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐴𝑏))
143142adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐴𝑏))
144143fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐴𝑏)))
145 ackbij1lem1 8987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐵 → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = (𝐵𝑏))
146145adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐵 ∩ suc 𝑏) = (𝐵𝑏))
147146fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
148144, 147eqeq12d 2641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) ↔ (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
149148biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
1501493adant1 1077 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏))))
151141, 150mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)))
152143, 146eqeq12d 2641 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏) ↔ (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)))
153152biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1541533adant1 1077 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → ((𝐴𝑏) = (𝐵𝑏) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
155151, 154embantd 59 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) ∧ ¬ 𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏𝐵) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1561553exp 1261 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (¬ 𝑏𝐴 → (¬ 𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
157140, 156pm2.61d 170 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (¬ 𝑏𝐵 → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏))))
158130, 157pm2.61d 170 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ω ∧ (𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) ∧ (𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏))) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))
1591583exp 1261 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ω → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
160159com34 91 . . . . 5 (𝑏 ∈ ω → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
161160a2d 29 . . . 4 (𝑏 ∈ ω → (((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴𝑏)) = (𝐹‘(𝐵𝑏)) → (𝐴𝑏) = (𝐵𝑏))) → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc 𝑏)) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc 𝑏)) → (𝐴 ∩ suc 𝑏) = (𝐵 ∩ suc 𝑏)))))
16225, 33, 41, 49, 53, 161finds 7040 . . 3 (suc (𝐴𝐵) ∈ ω → ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)))))
16317, 162mpcom 38 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))))
164 omsson 7017 . . . . . . . 8 ω ⊆ On
1658, 164syl6ss 3600 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ On)
166 onsucuni 6976 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ⊆ On → (𝐴𝐵) ⊆ suc (𝐴𝐵))
167165, 166syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴𝐵) ⊆ suc (𝐴𝐵))
168167unssad 3773 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐴 ⊆ suc (𝐴𝐵))
169 df-ss 3574 . . . . 5 (𝐴 ⊆ suc (𝐴𝐵) ↔ (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐴)
170168, 169sylib 208 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐴)
171170fveq2d 6154 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹𝐴))
172167unssbd 3774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → 𝐵 ⊆ suc (𝐴𝐵))
173 df-ss 3574 . . . . 5 (𝐵 ⊆ suc (𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐵)
174172, 173sylib 208 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)) = 𝐵)
175174fveq2d 6154 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹𝐵))
176171, 175eqeq12d 2641 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹‘(𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵))) = (𝐹‘(𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵))) ↔ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐵)))
177170, 174eqeq12d 2641 . 2 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐴 ∩ suc (𝐴𝐵)) = (𝐵 ∩ suc (𝐴𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
178163, 176, 1773imtr3d 282 1 ((𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin) ∧ 𝐵 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)) → ((𝐹𝐴) = (𝐹𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3896  𝒫 cpw 4135  {csn 4153   cuni 4407   ciun 4490  cmpt 4678   × cxp 5077  Ord word 5684  Oncon0 5685  suc csuc 5687  cfv 5850  (class class class)co 6605  ωcom 7013   +𝑜 coa 7503  Fincfn 7900  cardccrd 8706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935
This theorem is referenced by:  ackbij1lem17  9003
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