MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij1lem3 8988
Description: Lemma for ackbij2 9009. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij1lem3
StepHypRef Expression
1 ordom 7021 . . . 4 Ord ω
2 ordelss 5698 . . . 4 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 705 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4 elpwg 4138 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ 𝒫 ω ↔ 𝐴 ⊆ ω))
53, 4mpbird 247 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ 𝒫 ω)
6 nnfi 8097 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
75, 6elind 3776 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130  Ord word 5681  ωcom 7012  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  ackbij1lem13  8998  ackbij1lem14  8999  ackbij1lem15  9000  ackbij1lem18  9003  ackbij1  9004  ackbij1b  9005
  Copyright terms: Public domain W3C validator