MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ackbij2lem1 8798
Description: Lemma for ackbij2 8822. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem1 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))

Proof of Theorem ackbij2lem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 6840 . . . . . . 7 Ord ω
2 ordelss 5546 . . . . . . 7 ((Ord ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝐴 ⊆ ω)
31, 2mpan 701 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
4 sspwb 4742 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ω ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
53, 4sylib 206 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝒫 ω)
65sselda 3472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝒫 ω)
7 nnfi 7912 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
8 elpwi 4020 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
9 ssfi 7939 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
107, 8, 9syl2an 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ Fin)
116, 10elind 3663 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin))
1211ex 448 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ (𝒫 ω ∩ Fin)))
1312ssrdv 3478 1 (𝐴 ∈ ω → 𝒫 𝐴 ⊆ (𝒫 ω ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  cin 3443  wss 3444  𝒫 cpw 4011  Ord word 5529  ωcom 6831  Fincfn 7715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-om 6832  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719
This theorem is referenced by:  ackbij1b  8818  ackbij2lem2  8819
  Copyright terms: Public domain W3C validator