MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acnen2 8863
Description: The class of sets with choice sequences of length 𝐴 is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen2 (𝑋𝑌 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))

Proof of Theorem acnen2
StepHypRef Expression
1 ensym 7990 . . 3 (𝑋𝑌𝑌𝑋)
2 endom 7967 . . 3 (𝑌𝑋𝑌𝑋)
3 acndom2 8862 . . 3 (𝑌𝑋 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))
5 endom 7967 . . 3 (𝑋𝑌𝑋𝑌)
6 acndom2 8862 . . 3 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
75, 6syl 17 . 2 (𝑋𝑌 → (𝑌AC 𝐴𝑋AC 𝐴))
84, 7impbid 202 1 (𝑋𝑌 → (𝑋AC 𝐴𝑌AC 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 1988   class class class wbr 4644  cen 7937  cdom 7938  AC wacn 8749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-acn 8753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator