MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acni 8828
Description: The property of being a choice set of length 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐴   𝑔,𝐹,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥

Proof of Theorem acni
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4820 . . . . 5 (𝑋AC 𝐴 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
2 difexg 4778 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ∈ V)
4 acnrcl 8825 . . . 4 (𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V)
53, 4elmapd 7831 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})))
65biimpar 502 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → 𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴))
7 isacn 8827 . . . . 5 ((𝑋AC 𝐴𝐴 ∈ V) → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
84, 7mpdan 701 . . . 4 (𝑋AC 𝐴 → (𝑋AC 𝐴 ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥)))
98ibi 256 . . 3 (𝑋AC 𝐴 → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
109adantr 481 . 2 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥))
11 fveq1 6157 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
1211eleq2d 2684 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
1312ralbidv 2982 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
1413exbidv 1847 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) ↔ ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
1514rspcv 3295 . 2 (𝐹 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴) → (∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑋 ∖ {∅}) ↑𝑚 𝐴)∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝑓𝑥) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥)))
166, 10, 15sylc 65 1 ((𝑋AC 𝐴𝐹:𝐴⟶(𝒫 𝑋 ∖ {∅})) → ∃𝑔𝑥𝐴 (𝑔𝑥) ∈ (𝐹𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2908  Vcvv 3190  cdif 3557  c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  AC wacn 8724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-map 7819  df-acn 8728
This theorem is referenced by:  acni2  8829
  Copyright terms: Public domain W3C validator